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出版者:Baker & Taylor Deleted Titles

作者:Larson, Ron

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:55.71

装帧:HRD

isbn号码:9789990864847

丛书系列:

图书标签:

• 代数2
• 高中数学
• 二次函数
• 多项式
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 复数
• 数列
• 不等式

《代数II》的数学之旅，将带您深入探索抽象代数的奇妙世界。本书并非浅尝辄止的入门读物，而是旨在为读者构建一个扎实、严谨的数学根基。我们将从集合论的基本概念出发，如集合的定义、运算（并集、交集、差集、笛卡尔积）及其性质，为后续的抽象结构打下基础。 接着，我们将目光投向群论。群是代数中最基本也最重要的结构之一。我们将详细介绍群的定义、子群、陪集、正规子群以及同态与同构的概念。通过对一系列经典群例（如整数加法群、对称群、矩阵群）的深入分析，读者将能够深刻理解群的对称性和结构特性。我们还会探讨循环群、阿贝尔群以及它们的性质，并引入拉格朗日定理等关键定理，揭示有限群的内在规律。 之后，我们将进入环论的领域。环是比群更丰富的代数结构，它在加法和乘法运算下具有一定的封闭性和分配律。本书将详细阐述环的定义、子环、理想、商环的概念。我们将研究整环（integral domain）和域（field）的重要性质，理解它们在代数方程求解和数域扩张中的作用。交换环和非交换环的对比分析，以及特殊类型的环（如多项式环、矩阵环）的构造与性质，将使读者对环的结构有更全面的认识。 进一步，我们将深入探讨域论。域是代数中最重要的结构之一，其运算律接近我们熟悉的实数和复数域。我们将研究域的定义、子域、域扩张，以及有限域的构造。域扩张在求解高次方程、几何作图问题（如三等分角、立方倍根）以及伽罗瓦理论中扮演着核心角色。我们将详细介绍伽罗瓦群的概念，并逐步引入伽罗瓦理论的基本定理，阐释域扩张与群之间的深刻联系。这将是本书的重点和难点之一，我们将通过大量的例子和详尽的论证，帮助读者理解其精髓。 本书还将涉及一些进阶话题，如模（module）的概念，它是群论中子群概念的推广，也是环论中理想概念的自然延伸。模论为研究线性代数和代数几何提供了强大的工具。我们还会简要介绍数域（number field）的概念，探讨代数整数（algebraic integer）的性质，以及理想理论在数论中的应用。 在整个学习过程中，本书强调理论与实践的结合。每一章都配有精心设计的习题，涵盖从基础概念的巩固到复杂定理的证明。这些习题旨在帮助读者检验对知识的掌握程度，并培养独立解决数学问题的能力。此外，书中还会穿插一些历史背景和数学家的故事，让读者在学习抽象概念的同时，也能感受到数学发展的脉络和魅力。 本书的内容并非局限于某个特定的应用领域，而是旨在提供一个普适的数学框架。代数结构是许多现代科学和工程领域的基础，例如密码学、编码理论、计算机科学、物理学（如量子力学）和化学。通过学习本书，您将能够更好地理解这些领域的数学原理，并为进一步深入学习相关专业知识打下坚实的基础。 本书的语言力求严谨而清晰，逻辑性强。我们避免使用过于晦涩的术语，并在必要时提供详细的解释和例子。对于初次接触某些概念的读者，我们建议放慢阅读速度，反复咀嚼，并在必要时参考附录中的基础知识。我们相信，通过认真研读本书，您将不仅掌握代数II的核心知识，更能培养出严谨的逻辑思维能力和解决复杂数学问题的信心。

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这本书的“辅助材料”部分简直是隐藏的宝藏，如果只是盯着主干章节看，可能会错过它真正的精髓所在。我指的是那些穿插在章节末尾的“延伸阅读推荐”和“历史溯源笔记”。这些小插曲不仅仅是简单的背景知识介绍，它们更像是通往更广阔数学世界的微小隧道。比如，在讲解对数和指数函数时，它不仅提到了自然对数的定义，还花了半页纸的篇幅讨论了欧拉公式 $e^{ipi} + 1 = 0$ 如何被誉为“最美数学公式”，并简要介绍了其在物理学中的应用。这极大地激发了我去查阅更多相关资料的兴趣，将学习过程从被动接受变成了主动探索。我甚至发现，作者在某些证明中，采用了较为古老但逻辑上更清晰的欧几里得式推理，这与现代数学中偏爱集合论的表达方式形成了有趣的对比，让读者能够从不同时代的思维框架中汲取养分。对于那些希望将代数知识融会贯通，并对数学史抱有好奇心的学习者来说，这些细微之处的打磨，使得这本书的阅读体验提升了一个档次，它不再是冷冰冰的知识载体，而是一本充满人文关怀的智力伙伴。

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坦率地说，我期待的是那种直击要害、直奔主题的硬核教材，结果这本却走了一条全然不同的路子，它更像是一本精心打磨的“数学散文集”。对于那些已经掌握基础运算，渴望理解概念背后深层原理的读者，这本书的价值才真正显现出来。作者在讲解复数系统时，没有陷入繁琐的代数推导，反而花了大量篇幅去探讨“空间感”的构建，他将虚数轴想象成一个与实数轴垂直的全新维度，并通过旋转矩阵的几何意义来解释乘法操作，这种几何直觉的引入，彻底颠覆了我过去死记硬背的体验。书中的习题设计也非常巧妙，不再是那种机械重复的计算题，而是大量的“概念应用与论证题”。例如，有一道题要求读者设计一个模型来预测某种金融产品在不同市场波动下的价值范围，这要求读者不仅要会用公式，更要理解公式背后的假设和局限性。我必须承认，开始时我花了比预期更多的时间来消化这些富有挑战性的问题，但每一次攻克，都带来的是知识体系的重新整合，而不是简单的知识点叠加。这种培养“数学家思维”的训练方式，远比单纯追求计算速度来得珍贵。

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这本书的封面设计简直是一场视觉的盛宴，那种深邃的靛蓝色调配上银色的几何图形，一下子就把我的思绪拉入了一个充满逻辑和美感的数学世界。我原本对高等代数的畏惧感，在翻开扉页时奇妙地消散了。它的排版极其清晰，每一个定理、每一个例题都像是被精心雕琢过的艺术品，留白恰到好处，绝不让人感到压迫。作者在引言中对于“抽象思维的建立”的论述，更是令人拍案叫绝，他没有直接抛出复杂的公式，而是通过生活中的类比，比如建筑结构的稳定性、音乐的韵律变化，来阐释变量和函数关系的内在联系。这不仅仅是一本教科书，更像是一本引导心灵进入更高维度思考的哲学导论。我特别喜欢其中穿插的历史小故事，那些关于伽罗瓦和阿贝尔的挣扎与辉煌，让冰冷的数字瞬间拥有了温度和人性。阅读过程中，我感觉自己不是在啃硬骨头，而是在跟随一位睿智的向导，探索知识的迷宫，每解开一个谜题，都伴随着一种豁然开朗的喜悦。对于初次接触进阶代数概念的读者来说，这种循序渐进的引导方式，简直是福音，它为你打下了一个极其坚实而美观的知识地基。

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我通常对大学或高中阶段的教材持有一种保留态度，因为它们往往在“实用性”和“理论深度”之间摇摆不定，最终导致两头不着边际。然而，这本教材在平衡上展现了令人赞叹的功力。让我印象最深刻的是它对多项式理论的阐述。它没有像其他教材那样，在介绍根式解之后就草草收场，而是花了整整一个章节来深入探讨伽罗瓦群的概念——虽然没有使用过于晦涩的术语，但其核心思想的介绍却非常到位。作者巧妙地将群论的抽象概念，与多项式根的置换可能性联系起来，让读者直观地理解为什么五次及以上方程没有普适的代数解。这种对“为什么会这样”的深度挖掘，是许多同类书籍所缺失的。此外，它对数值方法的引入也十分适时，当理论推导陷入僵局时，立刻提供了一种工程学上的解决方案，体现了数学作为工具的强大生命力。整体而言，它既能满足理论探索者的求知欲，也能安抚那些更关注实际建模的工程师的心，这种全面性和深度兼顾的特质，实属难得。

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我必须得吐槽一下我对市面上很多代数教材的印象——它们往往枯燥乏味，充斥着为了证明而证明的冗余步骤。但对于这本，我的体验是彻底的反转。它在教授代数结构时，采取了一种非常现代的、面向问题的教学法。它不急于定义“环”或“域”，而是先抛出一个现实中遇到的需要代数工具来解决的复杂系统，然后引导我们逐步构建出抽象的数学框架来容纳这些现象。这种“先问题后工具”的顺序，使得抽象的定义不再是空中楼阁，而是解决实际困难的必然产物。例如，在讨论线性代数的基础概念时，它没有一开始就引入矩阵乘法的规则，而是通过一个多变量系统平衡的例子，自然而然地引出了矩阵运算的必要性，这使得学习曲线异常平滑。此外，书中的图表和可视化效果处理得非常出色，特别是高维空间的投射图，那些原本难以想象的旋转和拉伸，通过精美的插图变得直观可感。这本书成功地将高等代数的严谨性与现代教育学的趣味性结合在了一起，让一个原本令人望而生畏的学科，变得可亲近且充满探索的魅力。

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