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出版者:Penguin USA

作者:Nelson, R. D. (EDT)/ Nelson, David (EDT)

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 18.08

装帧:Pap

isbn号码:9780141010779

丛书系列:

图书标签:

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好的，这是一本关于《现代代数与拓扑学基础》的图书简介，其内容与《企鹅数学词典》（The Penguin Dictionary of Mathematics）完全不重叠，专注于理论的深入建构与复杂概念的系统阐述。 --- 现代代数与拓扑学基础：从群论到流形 导言：跨越抽象的桥梁 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的现代数学核心领域——抽象代数与拓扑学——的全面导论。不同于旨在提供快速查询或概念速查的参考工具书，本书致力于构建一条清晰的理论路径，引导读者从基础的集合论和逻辑结构出发，逐步攀登至高等代数结构（如范畴论的初步概念）和微分拓扑学的核心疆域。我们假定读者已具备微积分和线性代数的基础知识，但将从零开始，以严格的公理化方法重塑对“结构”与“空间”的理解。 本书的结构经过精心设计，旨在实现深度与广度的平衡，确保读者不仅能掌握关键定理，更能理解其背后的深刻洞察力与数学哲学。 第一部分：抽象代数的核心结构 本部分集中于代数结构的本质研究，探寻数学对象如何在特定运算下表现出内在的规律性与一致性。 第一章：群论的精深探究 本章不仅涵盖了群、子群、陪集和拉格朗日定理的标准内容，更将重点放在结构定理的证明与应用上。我们将深入探讨： 正规子群与商群： 详细解析商群的构造是理解同态基本定理的基石。本章提供了对“同态”这一概念的深刻几何化解读。 Sylow 定理： 给予 Sylow $p$-群存在性定理的完整、自包含的证明，并探讨其在有限群分类中的决定性作用，例如对 $p^3$ 阶群的分析。 可解群与单群： 引入可解群的概念，并深入剖析非交换有限单群的分类问题——尽管我们无法完整列出全部，但会详述其重要性及其与伽罗瓦理论的联系。 自由群与群表示： 介绍自由群的构造，并通过矩阵群（如 $ ext{SL}(2, mathbb{Z})$）来展示如何通过线性代数来“可视化”抽象群结构。 第二章：环、域与理想的张力 超越群的单一运算结构，本章转向具有两种兼容运算的代数结构。 环的分类与性质： 区分交换环、整环和域。重点分析域的构造，特别是域的扩张，例如如何从 $mathbb{Q}$ 构造出 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 这样的数域。 理想的几何意义： 理想不仅仅是子群的加强版，它们是环结构中“零集”的代数对应物。本章详细阐述素理想与极大理想的区别，并用同态基本定理来证明 $R/I$ 作为一个环的有效性。 多项式环的深度分析： 深入研究多项式环 $mathbb{K}[x]$ 的性质，特别是对于一个域 $mathbb{K}$，讨论其作为主理想整环 (PID) 的特殊地位。这部分将为下一部分中的伽罗瓦理论奠定基础。 模论的初步接触： 将环的概念推广到模，作为向量空间概念的泛化，为理解更高级的同调代数做铺垫。 第三章：伽罗瓦理论的宏伟叙事 本章将代数与域论的抽象概念汇聚一堂，解释了为什么五次及以上方程没有一般代数解的深层原因。 扩张与扩张次数： 明确定义代数扩张、有限扩张，并引入极小多项式的概念。 伽罗瓦群的定义与性质： 重点阐述伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$ 如何作用于域扩张 $L/K$。 基本对应定理： 给出域扩张塔与其子群之间的完美一一对应关系的严谨证明。本书将详细展示如何利用此定理来证明高斯证明圆周尺规作图可行性的条件。 可解性与根式解： 最终，我们将把群的可解性与域扩张的可解性联系起来，从而优雅地证明五次及以上多项式不存在一般根式解的结论。 第二部分：拓扑学的空间构建 在代数部分建立起对“结构”的严格理解后，本部分转向对“空间”的本质研究，关注连续性、连通性和紧致性等不随形变而改变的性质。 第四章：点集拓扑学的公理化基础 拓扑学的核心在于用最少的公理定义“邻域”与“开集”，从而捕捉连续性的本质。 拓扑空间的定义与构造： 详细讨论有限补集拓扑、余有限拓扑等非标准拓扑的性质，以凸显拓扑结构的多样性。 连续函数与拓扑保持映射： 将微积分中的极限概念提升到抽象集合的层次，精确定义拓扑空间间的连续映射。 基与构造拓扑： 引入基（Basis）的概念，展示如何通过定义基础的开集族来生成一个完整的拓扑结构。本书将重点分析度量空间诱导拓扑的优越性。 分离公理的层次： 严格区分 $T_1, T_2$ (豪斯多夫), $T_3, T_4$ (正规) 公理，并证明豪斯多夫空间中紧致子集的性质，例如紧致子集在豪斯多夫空间中必为闭集。 第五章：连通性与紧致性的深度分析 这两个概念是区分不同空间类型的最有力工具。 连通性与路径连通性： 探讨二者的关系，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中两者是等价的。引入单连通性与基本群的概念，作为衡量空间“洞的数量”的代数不变量。 紧致性的代数等价： 给出紧致性的 Heine-Borel 定理（仅在 $mathbb{R}^n$ 中成立）以及更具普遍性的定义——开覆盖的有限子集定理（及其在任意拓扑空间中的证明）。 乘积空间与商空间的拓扑： 探索如何通过构造运算（乘积和商）来维持或改变空间的拓扑性质。特别关注商空间在建立新的拓扑结构（如环面 $T^2$ 的构造）中的关键作用。 第六章：代数拓扑的初步接触：基本群与覆盖空间 本章开始将第一部分代数工具应用于第二部分的空间研究，进入代数拓扑的核心领域。 路径、同伦与基本群 $pi_1(X, x_0)$： 严格定义路径的同伦关系，并证明基本群的构造是一个群，其群运算即为路径的复合。 单连通空间的特性： 证明球体 $S^n$（对于 $n geq 2$）是单连通的，而圆周 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$，这直观地解释了为什么圆周有“缠绕”的概念，而二维球体没有。 覆盖空间理论的直觉构建： 介绍覆盖映射（如双重覆盖 $p: ilde{X} o X$）的概念，并展示如何利用它来计算某些空间的覆盖空间，例如 $mathbb{R}$ 作为 $S^1$ 的覆盖空间。本书将简要提及提升定理在证明覆盖空间存在性中的威力。 结论：未来的方向 本书的终点是代数拓扑的起点。读者将对如何使用群论来研究空间的不变量（如基本群）形成坚实的理解。随后的学习路径将自然导向同调论、微分几何，乃至更前沿的代数几何领域。本书旨在提供一个坚固的理论地基，使读者能够自信地迈入任何一个现代数学分支的研究之中。 --- 附录： 包含了所有关键定理的详细证明的备用章节，以及关于范畴论基本术语的介绍，以作为对抽象思维训练的补充。

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