A Companion to Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brooks Cole

作者:Dennis C. Ebersole

出品人:

页数:550

译者:

出版时间:2005-07-22

价格:USD 84.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780495011248

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Reference
• Analysis
• Functions
• Limits
• Derivatives
• Integrals

《微积分伴侣：几何与直觉的桥梁》 本书是一部专为初学者和寻求加深理解的学习者设计的数学著作，旨在弥合抽象的微积分概念与直观的几何图像和实际应用之间的鸿沟。它并非一部传统的教科书，而更像一位耐心且知识渊博的向导，引导读者以全新的视角探索微积分的四大基石：极限、导数、积分和无穷级数。 第一部分：极限——运动的本质与无限的逼近 本书以极限的概念作为开端，但其切入点并非纯粹的 $epsilon-delta$ 语言的严密推导。相反，我们首先着眼于极限在描述变化率和收敛性中的核心作用。 1.1 动态的视角：速度与轨迹 我们从物理学中的瞬时速度问题出发。一个物体的位置函数是已知的，但如何精确地定义“在某一瞬间”的速度？本书通过一系列生动的案例（例如，抛物线上的切线斜率），展示了割线斜率逼近切线斜率的过程。极限在这里被塑造成一种“无限逼近”的思维工具，而非仅仅是一个代数操作。 1.2 几何意义的探寻：连续性的直观理解 函数在某一点的连续性，在本书中被可视化为一条“不需抬笔”即可绘制的曲线。我们探讨了闭区间上连续函数的重要性质，如介值定理，并通过图示证明了这些定理的几何直觉基础。例如，如果一个连续函数从正值跨越到负值，它必然穿过 x 轴。 1.3 无穷的引入：序列与级数的初步接触 在极限的框架下，本书引入了无穷序列和级数的基本概念。我们使用“Zeno悖论”的现代解释来激发读者对无穷求和的兴趣。收敛的几何级数被详细分解，展示了有限的和如何精确地对应于一个固定的极限值，从而建立起对“无限操作的有限结果”的初步信任。 第二部分：导数——量变的精确度量 导数部分是本书的重点之一，它强调了导数作为瞬时变化率和局部线性化的强大能力。 2.1 微分：局部放大镜 我们摒弃了直接跳入商法则的复杂性，而是将导数视为对函数进行线性近似的过程。在函数图像的某一点上，切线就是最好的线性模型。本书通过大量的图形演示，展示了当观察尺度缩小到足够小时，任何光滑曲线都近似于一条直线，而导数就是这条直线的斜率。 2.2 求导法则的直觉推导 对于幂法则、乘积法则和链式法则，本书提供了基于比率变化和复合效应的直观推导，而非仅仅是公式的罗列。 链式法则的“接力”思想： 如果 A 影响 B，B 影响 C，那么 A 对 C 的整体影响率，是 A 对 B 的影响率与 B 对 C 的影响率的乘积。这通过物理学中速度的连锁反应（如齿轮传动比）得到了形象化的解释。 商法则的“竞争”模型： 将函数视为两种力量的平衡或竞争，分母的变化如何影响整体比率，从而自然引出分子和分母导数的加减关系。 2.3 应用的广度：优化与相关变化率 导数在现实世界中的应用被分为两大类： 1. 优化问题： 如何找到“最好”或“最坏”的情况？通过寻找导数为零的点（平坦点）来确定最大值和最小值。本书细致分析了如何利用二阶导数来区分局部最大值和局部最小值，强调了“斜率变化的方向”的重要性。 2. 相关变化率： 涉及两个或多个变量随时间变化的关系。例如，一个不断膨胀的气球的表面积和体积如何同时变化。我们通过明确识别常数、变量和它们之间的关系式（通常是几何公式），来系统地解决这类问题。 第三部分：积分——累积与面积的度量 积分部分被构建为导数的逆过程，专注于累积和总量的计算。 3.1 定积分：从求和到精确面积 本书从黎曼和的几何构建开始。我们首先使用矩形逼近不规则曲线下的面积，然后展示了极限过程如何将这些矩形的有限集合转化为精确的面积值。重点在于理解积分符号 $int$ 本身就是拉长的“S”，代表Summation（求和）。 3.2 微积分基本定理：连接的桥梁 本书认为，微积分基本定理（FTC）是数学中最深刻的洞察之一。它揭示了求导（瞬时变化率）和积分（累积总量）之间的对偶关系。我们首先通过一个“累计流量”的例子，直观展示了对一个变化率函数进行积分，如何恢复原始的累积函数，从而绕过了繁琐的代数证明，直击其核心逻辑。 3.3 不定积分与反导数 不定积分被定义为所有可能的原函数的集合，强调了任意常数 C 的引入是由于我们在进行微分操作时损失了关于“初始点”的信息。 3.4 应用：物理量与几何体积 积分不仅用于计算平面面积，还被扩展到： 物理累积量： 计算变力所做的功，或计算河流的流量积累。 体积计算： 通过“切片法”和“圆盘/垫圈法”，将三维物体的体积视为无限薄的二维截面的累积。本书详细绘制了这些截面如何从曲面中“切”出，并用积分进行求和。 第四部分：超越基础——无穷的深度 本书的最后部分将读者带入更抽象但同样具有实际意义的领域：无穷级数。 4.1 级数的收敛性：绝对与条件的较量 在回顾了几何级数后，本书引入了积分检验法，利用导数和积分建立的联系，来判断更复杂的级数（如 $p$-级数）是否收敛。我们强调了收敛的意义：对一个无穷和进行有限次求和后，误差（余项）可以被控制在任意小。 4.2 泰勒级数：函数的局部精确建模 泰勒级数被介绍为将任何光滑函数（在某一点附近）表示成一个无穷多项式的方法。 中心思想： 如果我们知道函数在某一点的值、斜率、曲率（二阶导数）以及更高阶的微分信息，我们就可以构建一个多项式来完美地匹配该函数在该点附近的所有局部特征。 本书通过对比线性近似（一阶泰勒多项式）和二次近似，展示了增加更高阶项如何带来更高的精确度。 4.3 几何直观的回归 本书的每一章都尽可能地回归到几何解释和直觉理解上，旨在帮助读者建立起对微积分概念的坚实“地图”，而非仅仅是操作公式的“说明书”。通过对极限、导数和积分的几何含义的深入探讨，读者将能够更自信地处理微积分在工程、经济和自然科学中的复杂应用。

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