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出版者:Prentice Hall

作者:Tobey, John/ Slater, Jeffrey

出品人:

页数:768

译者:

出版时间:

价格:$122.67

装帧:HRD

isbn号码:9780131490789

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
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• 因式分解

好的，这是一份针对一本名为《代数进阶》的书籍的图书简介，内容侧重于涵盖经典代数主题，同时避开初级代数（如基础线性方程、基本多项式运算）和微积分（如极限、导数）的核心内容。 --- 书籍名称：《高等结构解析：从数域到抽象映射》 聚焦核心： 本书旨在为具备扎实基础代数知识的学习者，构建一个深入理解现代数学结构，并掌握高级代数工具的桥梁。我们将从传统数系的完备性出发，逐步过渡到更抽象的群、环和域的理论框架，最终探索伽罗瓦理论的初步概念。本书的重点在于概念的严谨定义、定理的系统证明，以及在不同数学分支中应用代数结构的能力。 目标读者： 适合高等数学专业的本科生（二年级及以上）、对理论数学有浓厚兴趣的理工科学生，以及希望系统回顾和深化代数知识的数学教师。要求读者对基础代数运算、函数概念以及初步的集合论语言有清晰的认知。 内容深度与广度概述： 本书共分为六个主要部分，层层递进，确保知识体系的完整性： 第一部分：数系基础与构造的再审视（The Foundations of Number Systems） 本部分将不重复基础代数中对实数和复数进行加减乘除的运算介绍，而是着重于这些数系的结构属性和完备性。 1. 有序域的性质： 深入探讨实数域 $mathbb{R}$ 作为唯一（在同构意义下）有序完备域的地位。我们将详细分析阿基米德性质（Archimedean Property）和最小上界原理（Least Upper Bound Axiom）的严格表述及其关键推论，这些是构建微积分中连续性概念的基石，但在本书中，我们将其作为代数结构的基础来对待，而非分析工具。 2. 复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构： 讨论复数域作为一个代数封闭域的特性。我们将引入基本代数定理（Fundamental Theorem of Algebra）的代数证明思路（不涉及复变函数理论），重点分析其在多项式根的存在性保证中的核心作用。 3. 高斯整数与代数整数的初步概念： 引入 $mathbb{Z}[i]$ 等简单代数整数环，作为后续研究更复杂环结构的实例，强调规范函数（Norm Function）在这些域中的作用。 第二部分：线性代数的高阶视角：向量空间与线性变换的结构（Advanced Linear Algebra: Structure Over Rings） 本部分将线性代数提升到基于更广义环上的模（Module）的概念，并深化对线性变换的结构性理解。 1. 模（Modules）的概念： 将向量空间中“域”的限制扩展到“环”上，定义模。重点讨论自由模、扭转模，并对比自由模与向量空间在自由性上的差异。 2. 行列式理论的深化： 从外积（Exterior Algebra）的角度重新审视行列式的定义，理解其作为多线性形式的本质。研究行列式在环论中的推广，以及非交换环上矩阵的性质。 3. 特征值与Jordan标准形： 详尽分析在线性变换下，向量空间如何被分解。重点研究在域上，矩阵相似性的标准形式——Jordan标准形的唯一性证明。这不仅是计算工具，更是理解线性算子结构的关键。 4. 双对偶与张量积： 严格定义和构造张量积 $V otimes W$，并展示其如何在保持向量空间结构的同时，编码了两个空间之间的所有双线性信息。 第三部分：群论：对称性与抽象结构（Group Theory: Symmetry and Abstract Structures） 这是本书代数结构理论的核心部分，从基础定义出发，深入到同态、子群的分类，直至Sylow定理的证明。 1. 群的定义与基本性质： 快速回顾群、子群、陪集、拉格朗日定理。重点在于对生成元和群表示的初步理解。 2. 正规子群与商群： 深入探讨同态基本定理（First Isomorphism Theorem）的证明和应用，理解商群如何“压缩”原群的信息。 3. 置换群与Cayley定理： 详细分析置换群 $S_n$ 的结构，特别是交错群 $A_n$ 的性质，并利用Cayley定理说明所有群都可以被表示为置换群。 4. 可解群与单群： 引入中心列和导群（Derived Subgroup）的概念，分析可解群的结构。对于有限群，将系统地介绍Sylow定理的证明，并展示如何利用这些定理来确定特定阶数的群的结构。 5. 自由群与群表示： 介绍自由群的构造，及其与生成元和关系的联系，为后续的范畴论和表示论打下基础。 第四部分：环论：代数对象上的运算（Ring Theory: Operations on Algebraic Objects） 本部分将从集合上的二元运算扩展到环结构，关注理想、域的扩张与整性。 1. 环、理想与商环： 严格定义交换环和非交换环。侧重于理想的概念，并推广第一同态定理至环。 2. 主理想整环（PID）与唯一因子化整环（UFD）： 区分欧几里得整环（Euclidean Domain）、PID 和 UFD。详细证明多项式环 $F[x]$ 上的性质，尤其是在域 $F$ 上的多项式具有唯一因子化的性质。 3. 域的扩张（Field Extensions）： 这是连接群论和环论的关键环节。定义域的扩张 $E/F$。重点分析代数扩张和超越扩张。 4. 代数扩张的结构： 引入极小多项式（Minimal Polynomial）的概念，并详细讨论扩张的次数 $[E:F]$，及其与 $mathbb{F}_p[x]$ 上的多项式根的关系。 第五部分：伽罗瓦理论的初步探索（Introduction to Galois Theory） 本书的最后一部分，利用前述结构（特别是群论和域扩张），来解决代数方程的根的性质问题。 1. 伽罗瓦群的定义： 针对有限域扩张 $E/F$，定义其伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$。 2. 基本对应定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）： 介绍该定理的核心内容，即域扩张的塔结构与伽罗瓦群子群之间的反序对应关系。 3. 可解性与五次方程： 阐述伽罗瓦理论如何提供五次及以上一般方程无根式解的代数证明，通过分析对称群 $S_5$ 的非可解性来达成这一目标。 第六部分：拓扑与代数的交汇（Brief Encounters with Topological Algebra） 本部分作为选读章节，简要介绍代数结构在拓扑空间中的表现，为后续学习表示论或代数几何做铺垫。 1. 基本概念： 引入拓扑群（Topological Groups）的直观概念，例如流形上的群结构。 2. 矩阵群实例： 讨论一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$ 和特殊正交群 $O(n)$ 的基本拓扑性质，强调其代数与几何的融合。 本书特色： 本书不依赖于微积分或分析学的工具来构建代数结构，而是坚持纯粹的代数构造和逻辑证明。大量的习题设计旨在巩固读者对抽象概念的掌握和应用能力，特别强调对定理证明的内化理解，而非仅仅停留在公式的机械计算。

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从一个资深数学爱好者的角度来看待这本《Intermediate Algebra》，我必须承认，它在涵盖范围上做得非常全面，几乎涵盖了所有被认为是“中级”范畴内的核心主题，并且拓展到了一些为后续学习打基础的关键点。它不只是简单地复习了初级代数中的线性方程，而是深入探讨了系统方程的矩阵表示法，这为我后续学习更高级的线性代数课程奠定了非常坚实的基础。书中对不等式组的解集可视化处理也做得十分精彩，它将抽象的解域概念通过直观的二维或三维图形展现出来，这种清晰度是单纯的代数运算很难达到的。我特别欣赏它在介绍抛物线和圆的代数方程时，总是同步展示其几何图形的对应关系，这使得记忆和理解几何性质变得毫不费力。总体而言，这本书的深度和广度都达到了极高的水准，它既能满足一个需要通过考试的学生的需求，也能够满足一个希望深入理解代数核心逻辑的自学者。它为后续的微积分学习铺设了一条平坦而坚实的道路。

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这本书简直是代数学习的救星，尤其对于那些感觉自己基础不够扎实，或者曾经被代数绊倒过的人来说。我花了很长时间寻找一本既能系统讲解基础概念，又不至于枯燥乏味的书籍，最终发现了它。作者的叙述方式非常注重逻辑的连贯性，每引入一个新概念，都会用大量实例和清晰的推导过程来巩固理解。特别值得称赞的是，书中对那些容易混淆的知识点，比如分数运算中的符号处理，或者二次方程的求解技巧，都有非常细致的区分和讲解。我记得有一次我一直搞不懂函数与方程的区别，翻阅了市面上好几本教材都收效甚微，直到我看到这本书中关于函数图形化表示的那一章，一切豁然开朗。它不仅仅是让你记住公式，更重要的是让你理解“为什么”这个公式会这样存在。练习题的设计也体现了循序渐进的原则，从基础的练习到稍微需要思考的综合题，难度梯度把握得非常巧妙，确保读者在每学完一个章节后，都能真正掌握该部分内容，而不是仅仅停留在“看懂了”的层面。这本书无疑为我重新建立起对数学的信心起到了至关重要的作用，我强烈推荐给所有需要巩固中级代数知识的人。

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说实话，我买这本书纯粹是因为课程需要，一开始对它并没有抱太高的期望，毕竟市面上的“中级”教材很多都名不副实，要么内容过于浅薄，要么就是堆砌了太多复杂的理论却缺乏实际的应用指导。然而，这本书的实用性超出了我的预期。它的排版非常清爽，大量的图示和例题贯穿始终，这对于视觉学习者来说简直太友好了。我尤其喜欢它在讲解应用题时的处理方式，它不仅仅给出了解题步骤，更重要的是，它拆解了如何将现实世界的问题转化为代数表达式的过程——这才是真正考验一个人代数思维能力的地方。比如在涉及实际经济模型或物理问题时，书中会详细剖析变量的选取和方程的建立，而不是直接跳到解方程。此外，书中还包含了一些小测验和回顾章节，这些自检工具非常适合在考试前快速梳理知识点和查漏补缺。我发现，通过认真完成这些练习，我对那些曾经困扰我的代数难题的恐惧感大大降低了。这本书确实做到了“中级”的定位，它不满足于停留在初级代数的表面，而是深入挖掘了更深层次的代数结构和逻辑。

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我对任何技术性书籍的评价标准之一就是其配套资源的丰富程度和质量，而《Intermediate Algebra》在这方面做得相当出色。虽然我主要依赖纸质书进行学习，但书后附带的公式汇总和关键概念索引设计得极为贴心。当我需要快速回顾某个知识点时，不用翻阅厚厚的章节，索引页就能立刻帮我定位到精确的页码。更重要的是，书中提供的习题答案并非简单的最终结果，而是附带了解题过程的简要说明，这对于自学者来说简直是福音。我经常发现，自己卡住的地方往往只是一个小小的计算失误，但如果只有答案，我很难快速定位错误所在。有了步骤解析，我能迅速发现自己是代入错了数值，还是哪个运算顺序出了问题。这种反馈机制极大地提高了我的学习效率。相比之下，我之前使用的其他教材，要么答案缺失，要么只有最终数字，让人无从下手。这本书的这种细致入微的设计，体现了作者对学习者实际需求的深刻理解。

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如果非要用一个词来形容这本书的阅读体验，我会选择“严谨而又充满人性化”。很多高等数学教材虽然内容详实，但其语言风格往往过于学术化，读起来令人倍感压力。这本书显然找到了一个绝佳的平衡点。它的理论阐述非常扎实，每一步论证都滴水不漏，显示出作者深厚的数学功底。但与此同时，作者在穿插讲解时所使用的语言却非常平易近人，就像一位经验丰富的导师在你身边进行一对一的辅导。例如，在讲解多项式因式分解那些繁琐的公式时，作者会适时地加入一些“小贴士”或“常见误区提醒”，这些细微之处的设计，极大地减少了读者在学习过程中的挫败感。我个人对书中关于“复数”那一章印象深刻，它没有将复数简单地视为一个代数工具，而是通过几何意义的引入，让这个抽象的概念变得生动起来。这种将抽象数学与具象思维相结合的教学方法，是这本书最宝贵的财富之一。它不只是一本教科书，更像是一本能够引导你真正理解代数思维的书籍。

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