Poincaré Duality Algebras, Macaulay's Dual Systems, and Steenrod Operations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Dagmar M. Meyer

出品人:

页数:202

译者:

出版时间:2005-8-18

价格:GBP 22.80

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521850643

丛书系列:Cambridge Tracts in Mathematics

图书标签:

Poincaré duality
Macaulay's dual systems
Steenrod operations
Algebraic topology
Homological algebra
Cohomology
Characteristic classes
Spectral sequences
Manifolds
Ring theory

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具体描述

Poincare duality algebras originated in the work of topologists on the cohomology of closed manifolds, and Macaulay's dual systems in the study of irreducible ideals in polynomial algebras. These two ideas are tied together using basic commutative algebra involving Gorenstein algebras. Steenrod operations also originated in algebraic topology, but may best be viewed as a means of encoding the information often hidden behind the Frobenius map in characteristic p0. They provide a noncommutative tool to study commutative algebras over a Galois field. In this Tract the authors skilfully bring together these ideas and apply them to problems in invariant theory. A number of remarkable and unexpected interdisciplinary connections are revealed that will interest researchers in the areas of commutative algebra, invariant theory or algebraic topology.

范畴、拓扑与代数：超越庞加莱对偶的深远探索本书旨在深入探讨现代代数拓扑学中几个核心且相互关联的领域，重点关注超越了经典庞加莱对偶框架的复杂结构和工具。我们将从基础的同调与上同调理论出发，系统性地构建起一系列更具操作性和计算力的代数结构，这些结构在理解高维流形、纤维丛以及奇异代数簇的拓扑性质方面展现出无可替代的威力。第一部分：稳定同伦论与稳定化技术本部分聚焦于稳定同伦群的计算及其代数解释。在经典的同伦论中，随着球面的维度增加，同伦群的结构变得极其复杂且难以预测。本书将引入稳定化方法，通过费德曼-惠特尼（Fiedorowicz-Whitehead）的构造，将非稳定同伦群映射到稳定的范畴中，从而揭示出深层次的代数规律。我们将详细阐述谱序列（Spectral Sequences）在稳定同伦计算中的核心地位。重点分析广义莫尔夫-彼得森（Generalized Morava-Petersen）谱序列，它如何将稳定上同调理论（如莫拉瓦K理论 $K(n)$）与经典上同调理论联系起来。我们不仅会回顾经典的五边谱序列（如Serre谱序列），更会深入探讨Adams谱序列的代数基础，特别是其在计算稳定同伦群 $pi_^S(X)$ 中的精确应用。这包括对Steenrod代数在稳定范畴中的作用的细致刻画，阐明如何通过其在稳定模上的作用来推导稳定的拓扑信息。第二部分：高阶结构与层论超越传统的层上同调，本书转向研究拓扑空间上的高阶结构，特别是与代数几何紧密耦合的领域。我们引入导范畴（Derived Categories）的概念，将其作为研究复形（complexes）的自然框架。我们将详细剖析导出范畴（Derived Category $D(A)$）的构造，以及如何利用它来定义导出代数（Derived Algebra），例如导出张量积和导出极限。在层论方面，我们将探讨超同调理论（Hypercohomology Theories）和完备化（Completions）的代数机制。重点讨论正合性（Exactness）的局限性以及如何通过导出函子（Derived Functors）来恢复这些性质。这包括对正合层（Coherent Sheaves）的导出上同调（如 $mathbb{R}Gamma$ 函子）的深入分析，特别是在非阿基米德几何和奇异空间上的应用。我们将探究导出张量积 $overset{mathrm{L}}{otimes}$ 如何取代经典张量积在非标准几何设置中的作用，以及它与导出代数簇的结构之间的联系。第三部分：非交换几何与张量范畴本书的最后一部分将目光投向非交换几何（Noncommutative Geometry）的代数根基，重点关注其与特定代数结构——张量范畴（Tensor Categories）——之间的深刻联系。我们将从张量积的结合子（Associator）和单位子（Unitor）出发，系统性地构建单束范畴（Monoidal Categories）的理论。特别关注张量对称范畴（Symmetric Monoidal Categories）和张量交换范畴（Braided Monoidal Categories）。我们将详细介绍Reidemeister移动在这些范畴中对应的代数等价性，并考察纤维化（Fiber Functors）和张量结构在将拓扑对象映射到底层代数结构时的关键作用。此外，我们将研究张量范畴在描述量子群（Quantum Groups）的表示论中的应用。分析如何通过其Drinfeld-Jimbo代数的结构来理解更深层次的量子相变和拓扑场论（TQFT）的代数基础。我们还将探讨域（Fields）在导出范畴中的作用，以及如何利用可逆复形（Invertible Complexes）来构建稳定张量范畴，这为研究K-理论的更一般化版本提供了坚实的代数基础。通过以上三个部分的系统性梳理，本书旨在为读者提供一个超越了传统代数拓扑工具箱的视角，专注于那些在现代数学前沿，如模空间、代数几何的导出范畴和稳定同伦论中发挥核心作用的深化代数结构和范畴论工具。读者将获得一套强大的代数框架，用以处理那些经典方法难以触及的复杂拓扑问题。