Functional Equations in Applied Sciences pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Castillo, Enrique/ Iglesias, Andres/ Ruiz-Cobo, Reyes

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2004-12

价格:$ 271.20

装帧:HRD

isbn号码:9780444517883

丛书系列:

图书标签:

• Functional Equations
• Applied Mathematics
• Mathematical Analysis
• Differential Equations
• Integral Equations
• Numerical Analysis
• Engineering Mathematics
• Physics
• Scientific Computing
• Modeling

好的，这是一份关于不包含《Functional Equations in Applied Sciences》内容的图书简介草稿，内容详尽，旨在为读者描绘另一部深度学术著作的面貌。 --- 《高级偏微分方程与随机动力系统：理论、数值方法及前沿应用》 导言：复杂现象的数学刻画 在现代科学与工程的前沿领域，我们面临着无数依赖于时间演化、空间分布以及内在不确定性的复杂系统。从流体力学的湍流现象、凝聚态物理中的量子场论，到金融市场的高频波动与生物系统的网络动力学，这些现象的精确描述和有效预测，迫切需要一套强大的数学工具。 本书《高级偏微分方程与随机动力系统：理论、数值方法及前沿应用》正是在此背景下应运而生。它并非聚焦于经典或初等的泛函方程求解技巧，而是将读者的视野提升至现代分析的制高点，深入探讨偏微分方程（PDEs）与随机过程（Stochastic Processes）在非线性、高维以及含有噪声（Noise）环境下的理论基础、严格解法探寻、先进的数值模拟技术，以及它们在解决当代科学难题中的关键作用。 本书的结构旨在构建一个从抽象理论到实际应用的完整知识体系，强调数学严谨性与工程实用性的深度融合。 第一部分：非线性偏微分方程的现代理论基础 本部分是全书的理论基石，专注于那些描述物理世界中能量耗散、波传播、界面演化等核心过程的非线性偏微分方程。我们不再停留在简单的线性可解模型，而是直面数学物理中最具挑战性的领域。 第一章： Sobolev 空间与函数理论的深化 本章首先回顾并深化了Sobolev 空间的理论，着重于函数空间的嵌入定理、紧性标准及其在弱解理论中的应用。重点探讨了如 Besov 空间和 Triebel-Lizorkin 空间等更广义的函数空间，这些空间对于理解具有不规则性或分形的解的性质至关重要。此外，我们将详细解析“势能理论”在非光滑边界条件下的处理方法，为后续的非线性问题分析打下坚实基础。 第二章：非线性椭圆型方程的变分原理与正则性 本章的核心是深入研究如 Kirchhoff 方程、Ginzburg-Landau 模型等非线性椭圆型方程。我们采用极小化原理（Variational Principles），结合山路定理（Mountain Pass Theorem）和庞加莱不动点定理来证明解的存在性。尤其重要的是，本章花费大量篇幅探讨了解的正则性（Regularity Theory），特别是对于非凸能量泛函下的局部极值解，讨论了它们在奇点附近的行为，以及如何利用 De Giorgi-Nash-Moser 理论来确立解的充分光滑性。 第三章：非线性双曲型方程与能量守恒 针对描述波传播、交通流、以及气体动力学的双曲型方程（如非线性双曲守恒律），本章聚焦于熵解（Entropy Solutions）的概念。我们将详尽阐述 Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型和 Burgers 方程的激波（Shock Waves）与稀疏波（Rarefaction Waves）的构造。关于激波的唯一性证明，将依赖于熵条件（Entropy Conditions）的严格引入和应用。此外，对多维环境下 Lewy 问题的处理，特别是其弱解的结构分析，也是本章的重点之一。 第四章：非线性抛物型方程与渐近行为 本部分考察描述扩散、热传导和相变的抛物型方程，如反应-扩散方程、Cahn-Hilliard 方程和 Allen-Cahn 模型。我们关注解的长期行为，特别是平稳态（Steady States）的稳定性分析，以及爆破（Blow-up）现象的临界指数和机制。通过构造合适的屏障函数（Barrier Functions）和应用最大值原理（Maximum Principle）的推广，我们能精确估计解的演化速率，揭示其收敛至平衡态的途径。 第二部分：随机动力系统与随机偏微分方程（SPDEs） 现代科学系统往往受到环境的随机扰动。本部分将数学工具扩展到处理具有随机项的偏微分方程，即随机偏微分方程（SPDEs）。 第五章：随机微积分与Itô积分的拓展 在进入SPDEs之前，本章首先回顾并系统化了分数布朗运动（Fractional Brownian Motion）以及Lévy 过程等非马尔可夫性随机过程。我们将严格推导Itô 积分的构造，并着重于其在高维空间和非光滑路径上的推广。重点在于理解Stratonovich 积分与 Itô 积分之间的转换规则，及其在物理模型选择中的重要性。 第六章：随机场与随机偏微分方程的解法 本章是本书的难点与核心。我们将研究一类重要的 SPDE，如随机反应-扩散方程（Stochastic Reaction-Diffusion Equations）和随机 Korteweg-de Vries (KdV) 方程。理论分析将围绕随机空间的弱解理论展开，利用随机 Hölder 空间和随机 Grönwall 不等式来建立解的存在性和唯一性。特别地，我们将讨论如何利用Malliavin 微积分来分析解的随机可微性，这对于量化系统对初始扰动的敏感性至关重要。 第七章：随机系统中的平稳分布与遍历性 对于描述由噪声驱动的耗散系统（如随机范德波尔振子、随机 Lorenz 模型），理解其长期统计性质是关键。本章探讨了平稳分布（Stationary Distribution）的存在性和遍历性（Ergodicity）。我们将应用Hasminskii 理论和耦合函数方法（Coupling Method）来证明 Markov 过程的几何遍历性，从而确保通过时间平均可以准确估计系统的统计量，如平均值和相关函数。 第三部分：高级数值方法与计算实现 理论分析的深刻性需要可靠的数值工具来验证和应用。本部分专注于发展和分析高效、高精度的数值算法来求解上述复杂的 PDE 和 SPDE。 第八章：有限元法在非线性问题中的优化 本章侧重于混合有限元法（Mixed Finite Element Methods）和广义特征函数法在求解高维非线性方程中的应用。我们深入探讨了非线性求解器（如 Newton-Krylov 方法）的收敛性分析，并特别关注预处理技术（Preconditioning Techniques），例如代数多重网格法（AMG）和基于平衡函数空间（Barycentric Spaces）的预处理器，以应对大型稀疏线性系统的求解效率问题。 第九章：时间离散化与随机系统的稳定性 针对时间依赖的方程，本章对比了隐式与显式 Runge-Kutta 方法在处理非线性扩散项时的稳定边界。对于 SPDEs，我们专注于半隐式时间积分方案，如修正的 Euler-Maruyama 算法。一个关键的挑战是保持物理守恒律，因此本章会详细介绍辛积分器（Symplectic Integrators）在随机哈密顿系统中的应用及其对长期能量误差的控制。 第十章：不确定性量化与高维模拟 面对高维或含有大量随机参数的系统，传统的蒙特卡洛模拟效率低下。本章介绍了概率配置方法（Stochastic Collocation Methods）和多项式混沌展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）技术。我们将展示如何将随机变量投影到正交多项式基上，将 SPDE 转化为确定性的偏微分方程组，从而实现对系统输出不确定性的有效量化，并讨论在稀疏网格技术下如何处理指数级增长的维度灾难。 结语：面向未来的展望 本书为研究人员和高级研究生提供了一套应对当代科学与工程挑战所需的全面数学工具箱。我们强调了理论分析的严谨性，同时展示了先进数值方法在实际求解中的不可替代性。未来的研究方向将侧重于更复杂的随机场相互作用、具有非局部效应的方程组，以及利用机器学习技术来加速高维 SPDEs 的求解和数据驱动的模型发现。 ---

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