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出版者:Prentice Hall

作者:Martin-Gray, Elayn

出品人:

页数:767

译者:

出版时间:

价格:1367.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780131868366

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 基础数学
• 大学数学
• 入门
• 代数
• 几何
• 三角学
• 算术
• 预备课程
• 高等教育

《高等代数原理与应用》 本书简介 《高等代数原理与应用》是一本专为数学、物理、工程学以及计算机科学等需要扎实代数基础的专业人士和高年级本科生精心编撰的教材。本书旨在超越初级代数范畴，深入探讨现代数学中最为核心且应用广泛的代数结构、理论框架及其在各个科学领域中的实际应用。我们致力于构建一座坚实的理论桥梁，连接抽象的数学概念与具体的现实问题求解。 第一部分：基础回顾与抽象代数的奠基 本部分首先对预备知识进行系统性的梳理和提升，重点关注集合论、逻辑推理以及复数系统的深入理解。随后，我们引入抽象代数的基石——群论。 第一章：集合、映射与数系扩展 详细阐述了集合的运算、关系的分类、函数的性质（单射、满射、双射）。重点解析了有理数域 $mathbb{Q}$ 到实数域 $mathbb{R}$ 的构造性证明，并引入复数域 $mathbb{C}$ 的代数和几何表示。特别探讨了极坐标形式与欧拉公式在三角函数与指数函数中的统一性。 第二章：群论基础 群（Group）的严格定义、基本性质（如单位元、逆元、子群的判别）。深入探讨了几类重要的群结构：循环群、二面体群 $D_n$、对称群 $S_n$。本章的核心在于理解同态与同构的概念，这是识别不同代数结构本质相似性的关键工具。我们详细分析了陪集、拉格朗日定理及其在有限群分析中的强大威力。 第三章：正规子群与商群的构建 本章是理解群结构分解的关键。首先定义并论证了正规子群的等价判别条件。随后，构建了商群（Factor Group/Quotient Group），并详细阐述了第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms），这是将复杂群结构映射到更简单群的基石。通过实例，展示了如何利用商群来简化群的结构分析。 第二部分：环、域与线性代数的深度融合 在掌握了群的结构后，本书将视角转向包含两种运算的代数结构——环与域，并将这些概念与线性代数的核心内容紧密结合。 第四章：环与理想 环（Ring）的定义、交换环、整环（Integral Domain）的特性，以及域（Field）的定义。重点讲解了理想（Ideal）的概念及其重要性，讨论了主理想、极大理想和素理想。通过对多项式环 $F[x]$ 的深入分析，为后续的域扩张做准备。 第五章：域论入门 本章专注于域的性质，特别是特征（Characteristic）的概念。引入了域扩张（Field Extension）的概念，区分了代数扩张与超越扩张。详细探讨了最小多项式，这是理解域扩张次数和构造复杂域（如有限域）的基础。 第六章：线性代数的核心：向量空间与线性变换 作为连接抽象代数与应用数学的关键章节，我们重新审视向量空间（Vector Space）的公理化定义，并扩展到任意域上的向量空间。深入研究线性变换（Linear Transformation）的性质，包括核（Kernel）与像（Image）。利用矩阵表示，详细分析了线性变换的性质，并探讨了相似矩阵的概念。 第七章：特征值、特征向量与对角化 本章是矩阵理论的重中之重。详细推导了特征值与特征向量的求解方法。核心内容集中在对角化的可能性与充要条件，包括特征值代数重数与几何重数的比较。对于不可对角化的矩阵，引入了Jordan标准型的构造原理与计算方法（仅作理论介绍与基本应用）。 第三部分：结构分解与经典理论 本部分将前两部分的理论融会贯通，专注于对线性代数和多项式理论进行更深入的分解与分析。 第八章：行列式理论的统一视角 从更抽象的代数角度重新定义行列式（Determinant），探讨其作为多重线性形式的性质。严格证明了行列式是非零的充要条件是其对应的线性变换是可逆的。引入了伴随矩阵与克莱默法则（Cramer's Rule）的代数推导。 第九章：内积空间与谱定理 在实数域和复数域上引入内积空间的概念，定义了范数（Norm）和正交性。重点讨论了欧几里得空间和酉空间。对于有限维空间，详述了正交对角化的条件，并完整阐述了谱定理（Spectral Theorem）及其在线性回归、傅里叶分析中的重要意义。 第十章：多项式环的结构分解 回归到多项式环 $F[x]$，应用群论和环论的知识，详细分析了最小多项式与特征多项式之间的关系。本章的理论高潮是初等因子理论（Elementary Divisor Theorem）与有理标准型（Rational Canonical Form）的构造。这为分析矩阵在特定域上的结构分解提供了超越对角化的通用工具。 应用与展望 本书在每一章后都设置了丰富的“理论应用”专题，涵盖了： 1. 编码理论：利用有限域和矩阵理论构建纠错码。 2. 图论基础：利用邻接矩阵的特征值分析图的连通性和结构特性。 3. 微分方程：使用矩阵指数和特征分解求解线性常微分方程组。 4. 抽象代数在密码学中的初步应用：例如模运算与有限域在公钥加密中的角色。 《高等代数原理与应用》不仅是一本工具书，更是一本思想的引导书，旨在培养读者从具体计算中提炼抽象结构、并利用抽象结构解决实际问题的能力。本书的难度适中偏高，适合已完成微积分和初级线性代数学习的读者，为迈入更深层次的现代数学研究打下坚实的基础。

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对于自学者而言，选择一本好的教材无异于选择了一位优秀的向导，而这本教材的表现非常出色。它的结构设计，从宏观到微观，都展现出了极高的教学智慧。我个人认为，它最成功的一点在于对数学学习心态的积极引导。书中多次强调了犯错是学习过程的一部分，鼓励读者不要害怕尝试和失败，这对于建立学习自信心至关重要。每当我对某个难题感到沮丧时，回头看看书中的鼓励性文字和那些循序渐进的例子，总能重新找到动力。它没有那种高高在上的姿态，而是真诚地陪伴读者度过数学学习中的每一个瓶颈期。阅读这本书的过程，更像是一次与知识的友好对话，而不是一场单向的灌输。它不仅教会了我数学知识，更教会了我如何系统、理性地去面对和解决复杂的问题，这种能力上的提升，远超出了单纯的数学范畴。

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我拿到这本教材时，最大的感受就是它的实用性。我买这本书的目的其实并不是为了应付某个特定的考试，而是想重新巩固一下高中阶段学过的那些基础数学知识，以便未来在工作中能更有效地处理数据和进行逻辑分析。这本书的优势在于它不仅仅停留在理论层面，而是大量地穿插了现实世界中的应用场景。例如，在讲解统计学的基本概念时，它会用真实的市场调研数据作为案例，让你明白这些数字背后代表的实际意义。这种“学以致用”的感觉极大地提升了我的学习动力。我发现自己不再只是机械地做题，而是开始思考如何运用这些工具去解决实际问题。书中的插图和图表制作得非常精良，它们不是那种敷衍的装饰品，而是真正帮助理解复杂关系的关键视觉辅助工具。对于那些希望数学能力能够快速转化为职场竞争力的读者来说，这本书提供的知识结构是坚实且高度相关的。

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说实话，我过去对“学院派”的数学教材总是抱持着一种敬而远之的态度，觉得它们往往过于学术化，脱离了普通人的日常经验。然而，这本《Basic College Mathematics》彻底颠覆了我的看法。它的叙事风格非常具有亲和力，作者仿佛是一位经验丰富且非常耐心的导师，在你身旁为你讲解每一个困难点。我特别喜欢它对“为什么”的强调，而不是仅仅告诉你“怎么做”。比如，在讲解代数方程的求解过程时，它会花时间解释每一步操作背后的数学原理和逻辑必然性，而不是简单地罗列步骤。这种深层次的解释，让我的理解不再是表面的，而是深入到了骨子里。当我遇到一些概念上的模糊点时，翻阅这本书，总能找到那种“豁然开朗”的感觉。它的语言简洁明了，没有太多冗余的术语堆砌，使得阅读过程非常流畅，节奏感把握得很好，让人愿意一直读下去。

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这本书简直是为初学者量身定做的，内容组织得非常清晰有条理。我记得我刚接触代数的时候，很多概念都感觉很抽象，但这本书用了很多生活化的例子来解释，比如讲解百分比的时候，会联系到购物打折，讲解比例的时候，会用到食谱的调整。这种由浅入深的学习路径，让我在理解基础概念时没有感到任何吃力。它不像有些教材那样上来就抛出复杂的公式，而是耐心地一步步引导你建立起数学思维的框架。特别是对于那些长期远离数学或者对数学有畏惧心理的人来说，这本书的友好度非常高。它的排版也很舒服，不会让人感到信息过载，每章的重点都会用醒目的方式标出。我特别欣赏它在每节课后设置的练习题，这些习题的难度梯度设计得非常合理，从简单的概念检验到稍微复杂的应用题，能够确保你真正掌握了知识点，而不是死记硬背公式。总的来说，它成功地将“枯燥”的数学变得易于接近和理解，是打好数学基础的绝佳起点。

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如果用一个词来形容我的使用体验，那就是“严谨而不失灵活性”。虽然书名里带着“基础”二字，但它在覆盖范围的广度和深度上，远超出了我对于一本入门教材的预期。它对每一个数学分支的基础概念都做了详尽的介绍，确保读者不会因为基础不牢固而后续学习受阻。我特别注意到，这本书在处理一些容易混淆的细节问题时，做得非常到位。比如，在处理负数运算或者分数运算的特殊规则时，它会用对比的方式呈现，清晰地指出常见的陷阱在哪里，并提供大量的反例进行警示。这种精细化的处理，极大地减少了我犯低级错误的可能性。此外，书后的附录部分也极其有用，它收录了一些重要的公式汇总和参考资料，使得这本书可以作为一本长期的工具书来使用，而不是读完就束之高阁的参考资料。

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