Recent Advances on Elliptic And Parabolic Issues pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Chipot, Michel (EDT)

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2006-3

价格:$ 171.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812566751

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆方程
• 抛物方程
• 数值分析
• 数学物理
• 泛函分析
• 解的存在性
• 正则性
• 有限元方法
• 数值模拟

现代数学物理中的非线性演化方程：理论、方法与应用 图书简介 本书深入探讨了现代数学物理中一类至关重要的核心对象：非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs），特别是那些描述自然界中复杂物理现象的演化方程。我们将聚焦于经典且具有深刻影响力的几个方程组，并以一种系统化、严谨且富有洞察力的方式，梳理其背后的数学结构、分析工具以及在不同科学领域中的应用前景。本书旨在为高年级本科生、研究生以及致力于应用数学、理论物理和工程科学研究的专业人士提供一本内容详实、方法论严谨的参考教材。 第一部分：基础理论与可积性（Integrability）的基石 本部分奠定非线性演化方程分析的理论基础，重点考察方程的可积性性质，这是区分一类方程与“普通”非线性方程的关键。 第一章：非线性演化方程的谱系与背景 本章首先回顾了线性偏微分方程（如热方程、波动方程）的经典解法，并引入非线性项如何彻底改变方程的动态特性。我们将详细介绍以下几类核心方程： 1. Korteweg-de Vries (KdV) 方程族： 作为第一个被发现的可积方程，KdV 方程在浅水波理论中具有里程碑意义。本章将追溯其发现历史，并从守恒律的角度解析其物理意义。 2. 非线性薛定谔（NLS）方程： 描述光纤通信、 Bose-Einstein 凝聚等领域中的包络波演化。我们将重点分析其在复数域上的特性。 3. Sine-Gordon (SG) 方程与sinh-Gordon 方程： 这类方程在非线性振荡、晶体学缺陷（如孤子/扭结）模型中扮演重要角色。 第二章：Lax 算子与谱变换（Spectral Transform） 本章的核心是深入解析“可积性”的数学核心——Lax 植（Lax Pair）的概念。 Lax 对的构造： 我们将详细讲解如何为 KdV、NLS 等方程构造相应的线性算子 $L$ 和时间演化算子 $T$，使得系统的演化方程等价于 $frac{partial L}{partial t} = [L, T]$。 反散射方法（Inverse Scattering Transform, IST）： 这是求解可积系统的主要工具。对于一维演化方程，我们将从基础的 Schrödinger 算子或 Dirac 算子的谱理论出发，系统地推导出 IST 的完整流程：从初始数据到散射数据，再到通过重构核（如 Gel'fand-Levitan-Marchenko 积分方程）恢复时间演化后的解。本章将通过 KdV 方程的初值问题（Cauchy problem）来演示 IST 的完整步骤。 第三章：无穷多守恒量与Hamiltonian 结构 可积系统的另一个标志是存在无穷多个相互通勤（Commuting）的守恒量。 生成函数与守恒律： 我们将展示如何利用 Lax 植和 Hamilton-Jacobi 理论，通过特定路径积分生成无穷组能量、动量等守恒量。 Hamiltonian 结构： 分析方程在特定 Poisson 括号下的作用，证明其是完全可积的 Hamiltonian 系统，并讨论 Liouville 定理在这些系统中的应用。 第二部分：非线性分析方法与结构稳定性 本部分转向更广泛的非线性方程族，探讨在可积性不明显时，我们应采用哪些强大的分析工具来揭示其结构特性和长期行为。 第四章：渐近分析与多尺度方法 在许多实际应用中，我们只能在特定参数（如小扰动、慢时间尺度）下求解方程。 平均场方法与 Bogoliubov-Krylov-Whitham-Zabusky (BKWZ) 理论： 研究波包在耗散或色散介质中演化时，如何通过平均化处理来简化原非线性方程，从而得到描述平均包络演化的平均方程。 匹配渐近展开法（Method of Matched Asymptotic Expansions）： 特别适用于涉及多尺度现象（如激波、边界层）的问题。我们将应用此方法来分析孤子在非均匀介质中传播时的微小修正。 第五章：全局解的存在性与爆破现象 对于描述能量或质量守恒的方程，解的“寿命”是关键问题。 能量方法与先验估计： 引入Sobolev 空间框架，利用能量泛函的演化来证明解的存在性和唯一性。 爆破准则（Blow-up Criteria）： 针对具有负二次非线性项（如某些简并抛物方程或三维 NLS 的变体）的方程，我们将详细分析解的 $L^2$ 或 $L^infty$ 范数何时趋于无穷，以及爆破的类型（点爆破、轴爆破）。 第六章：孤立子、扭结与畴壁的稳定性 孤立态（如孤子和扭结）是许多非线性系统的重要特征。 孤子稳定性分析： 使用线性化稳定性理论，分析围绕稳定孤子解的微小扰动是否会衰减。重点讨论 MCPT（Modulational Instability Theory）在 NLS 方程中的应用。 非局域（Non-local）模型： 介绍包含非局域项的演化方程，这些方程通常来源于分数阶微积分或长程相互作用，并讨论其稳定性和合并行为。 第三部分：方程的几何化与现代框架 本部分将非线性方程置于更宏大的数学结构中，特别是几何分析和随机动力学的视角。 第七章：几何化视角与流方程 将演化方程解释为在特定函数空间上的测地线或曲率流。 曲率流（Curvature Flows）： 探讨 Mean Curvature Flow (MCF) 在等周问题中的应用，并将其与非线性扩散方程联系起来。 Symplectic 几何与离散化： 讨论如何将连续的演化方程通过黎曼流形上的辛积分（Symplectic Integration）方法进行高效的、能量保持的数值离散化，这对长期模拟至关重要。 第八章：随机扰动与随机偏微分方程（SPDEs） 真实世界中的物理系统往往受到白噪声或有色噪声的驱动。 随机 K-dV 与随机 NLS： 引入空间或时间上的噪声项，分析噪声对孤子产生和演化的影响。 随机性对解的正则性的影响： 探讨在何种噪声强度下，原本光滑的确定性解会退化为具有分布性质的随机场。我们将侧重于使用 Malliavin 微积分或粗糙路径理论来处理非光滑的随机输入。 第九章：数值方法与计算实现 本书的最后部分将理论与实践相结合，侧重于求解高维和复杂边界条件下的非线性问题。 高阶时间积分方案： 介绍 Crank-Nicholson 方案的非线性推广，如使用 Newton 迭代法求解隐式方程，并讨论其收敛性。 谱方法与伪谱法（Pseudospectral Methods）： 重点讲解如何利用傅里叶基或切比雪夫多项式高效计算 KdV 和 NLS 方程，并对比其在处理波的周期性边界条件时的优势。 并行计算策略： 讨论在现代多核架构上实现大规模 SPDEs 模拟的分解方法和通信优化。 本书的写作风格力求清晰、逻辑严密，避免不必要的术语堆砌，并辅以大量精心挑选的习题，以促进读者对复杂概念的深入理解和实际应用能力的培养。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆