Nonsmooth Variational Problems and Their Inequalities pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Carl, Siegfried/ Le, Vy Khoi/ Motreanu, Dumitru

出品人:

页数:407

译者:

出版时间:2006-11

价格:$ 134.47

装帧:HRD

isbn号码:9780387306537

丛书系列:

图书标签:

变分问题
非光滑分析
不等式
优化
凸分析
泛函分析
数学分析
数值分析
应用数学
偏微分方程

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具体描述

This monograph focuses primarily on nonsmooth variational problems that arise from boundary value problems with nonsmooth data and/or nonsmooth constraints, such as multivalued elliptic problems, variational inequalities, hemivariational inequalities, and their corresponding evolution problems. It provides a systematic and unified exposition of comparison principles based on a suitably extended sub-supersolution method.

泛函分析与非线性分析中的前沿进展本书汇集了当代泛函分析、非线性分析以及变分不等式理论领域内最具创新性和影响力的研究成果。它深入探讨了在传统光滑框架下难以处理的诸多复杂问题，特别关注于具有不规则性、非光滑性以及非凸性特征的数学模型。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为数学、物理、工程及经济学等领域的专业研究人员和高级研究生提供一个全面、深入的视角，以理解和解决当前最尖端的理论与应用难题。本书的首要核心内容聚焦于非光滑凸分析（Nonsmooth Convex Analysis）的现代框架。我们从经典的凸分析出发，系统地引入了次微分（Subdifferential）理论的推广及其在泛函上的应用。这部分内容详述了Clarke次微分、极小化次微分（Mordukhovich Subdifferential）等关键概念的精确定义、性质及其拓扑特性。特别地，书中详尽分析了这些工具在处理极小化问题、约束优化问题以及变分不等式问题中的有效性。通过引入Fenchel-Moreau型定理的非光滑推广，我们阐明了函数与共轭函数之间的对偶关系，这对于构造有效的数值算法至关重要。在泛函分析的语境下，本书对Banach空间和Hilbert空间上的算子理论进行了深刻的挖掘，尤其关注非光滑型算子的不动点理论和拓扑度理论。经典的Krasnoselskii或Schauder不动点定理通常要求算子满足一定的光滑性或紧性假设。本书则致力于发展适用于更广泛集合上的不动点存在性结果，例如利用集合值映射的定点理论以及基于极小值函数的Demyanov算子的不动点理论。这些工具是解决微分方程组和积分方程组中解的存在性问题的理论基石，尤其是在解的边界或自由边界不规则的情况下。第三个关键板块是对变分不等式的理论深化。除了经典的Minimax定理和相关的鞍点问题之外，本书将焦点投向了非局部型变分不等式和随机变分不等式。在非局部问题中，我们探讨了涉及非局部积分核或非局部微分算子的不等式，这些问题广泛出现在流体力学、图像处理（如非局部去噪）和金融衍生品定价模型中。对于随机变分不等式，书中引入了伊藤微积分和随机最优控制的理论工具，分析了在不确定性驱动下的最优决策问题，并给出了关于遍历解（Ergodic Solutions）稳定性的深入分析。非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）与自由边界问题构成了本书的另一重要组成部分。我们不再局限于椭圆型方程的经典解法，而是重点研究了退化型和奇异型PDEs。例如，涉及$p$-拉普拉斯算子或非局部分数阶拉普拉斯算子的方程。在自由边界问题的研究中，我们详细分析了Stefan问题、孔隙介质流动问题等，并展示了如何利用弱解的概念和能量方法来证明解的存在性和正则性。特别地，书中探讨了接触问题（Contact Problems）在弹性力学和生物力学中的数学模型，这些问题本质上就是带有不等式约束的偏微分方程。此外，本书对广义函数空间与拓扑度理论在非线性分析中的应用进行了详尽的论述。传统的拓扑度理论依赖于连续函数和紧算子。本书引入了Sobolev空间和Besov空间中定义的一般映射的拓扑度概念，这对于处理高阶微分算子和具有临界指数的非线性项至关重要。我们详细阐述了Brezis-Browder型定理的非光滑推广，探讨了在临界点的微扰方法，并将其应用于证明高度非线性的椭圆型方程的解的存在性。在数值分析与算法方面，本书虽然侧重理论基础，但仍对非光滑优化算法的收敛性进行了深入的理论分析。这包括次梯度方法（Subgradient Methods）、增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Methods）的非光滑推广，以及交替方向乘子法（ADMM）在处理大规模非光滑最小化问题时的鲁棒性分析。理论讨论紧密结合了实际应用的挑战，例如如何处理高维数据中的L1正则化项（LASSO）或Total Variation（TV）正则化。总结而言，本书结构宏大，内容涵盖了从基础的泛函分析工具到最前沿的随机非光滑控制理论的广泛领域。它不仅是对现有理论体系的一次系统性整合，更是在关键交叉领域（如非光滑优化、变分不等式与随机控制）提出了新的理论视角和分析框架。读者将通过阅读本书，获得解决复杂系统建模中遇到的数学障碍的强大理论武器。