Computational Commutative Algebra 2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer Verlag

作者:Kreuzer, Martin/ Robbiano, Lorenzo

出品人:

页数:586

译者:

出版时间:

价格:64.95

装帧:HRD

isbn号码:9783540255277

丛书系列:

图书标签:

• Commutative Algebra
• Computational Algebra
• Algebraic Geometry
• Polynomial Rings
• Ideals
• Modules
• Noetherian Rings
• Gröbner Bases
• Homological Algebra
• Singular

好的，以下是一份关于一本假想的、主题与“计算交换代数2”相近，但内容完全不同的图书简介，力求详细且自然： 《拓扑数据分析中的高维几何与谱方法》 作者： 艾琳·霍夫曼, 迈克尔·陈 页数： 约 780 页 出版日期： 2024 年秋季 图书简介 在当今数据科学和复杂系统研究的前沿，我们面临的核心挑战是如何从海量、高维、常常噪声斑驳的数据集中提取出有意义的、拓扑学上稳健的结构信息。传统的线性代数和基于欧几里得距离的方法往往在维度灾难面前显得力不从心。《拓扑数据分析中的高维几何与谱方法》正是为了填补这一空白而精心撰写的一部权威著作。 本书并非简单地介绍拓扑数据分析（TDA）的既有框架，而是深入挖掘了支撑该领域最新进展的底层几何原理与先进的谱理论工具。我们的目标是为研究生、高级研究人员以及希望将严格的数学工具应用于真实世界复杂数据集的工程师提供一本兼具理论深度与实用指导的参考书。 全书分为五大部分，层层递进，构建了一个从基础概念到尖端应用的完整知识体系。 --- 第一部分：高维空间的基础几何与度量 本部分奠定了理解高维数据结构所需的几何直觉。我们从欧几里得空间出发，但迅速过渡到更具弹性的度量空间，重点探讨了测地线距离（Geodesics）在高曲率流形上的行为。一个关键章节专门讨论了嵌入理论，分析了高维数据如何在低维空间中保持其拓扑结构，以及多尺度嵌入（Multi-Scale Embedding）在降维过程中的信息损失界限。 我们详细考察了非线性嵌入方法（如LLE, Isomap）的数学基础，并引入了随机几何（Stochastic Geometry）的概念，用以描述数据点在高维随机采样的特性。这部分为后续引入拓扑不变量奠定了坚实的几何度量基础。 第二部分：稳健拓扑的代数基础与持续同调 在理解几何结构后，第二部分聚焦于代数拓扑的核心工具——持续同调（Persistent Homology, PH）。我们摒弃了对PH的肤浅介绍，而是深入探讨了链复形（Chain Complexes）的构造、边界算子（Boundary Operators）的精确性，以及同调群的计算复杂性。 本书对Vietoris-Rips复形和Čech复形的构建进行了详尽的比较分析，重点在于如何处理计算上的可扩展性问题。我们引入了拓扑信息论的概念，探讨了如何量化拓扑特征（如贝蒂数）的“持续性”的统计学意义。此外，我们对简化同调（Simplified Homology）的理论进行了阐述，这对于处理大规模点云数据至关重要。 第三部分：谱方法在结构分析中的应用 这是本书最具创新性的部分之一。我们将谱图理论与数据拓扑结构相结合。我们详细推导了图拉普拉斯算子在高维空间中的推广，并探讨了谱聚类与拓扑特征之间的深层联系。 重点内容包括： 1. 拓扑谱图理论： 使用拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来捕捉图结构中的“洞”和连通性，并将其与持续同调的特征向量进行对比。 2. 扩散几何（Diffusion Geometry）： 阐述了基于扩散核（Diffusion Kernel）的度量学习，该方法对噪声和局部密度变化具有天然的鲁棒性。我们展示了如何利用扩散距离来构建更优的拓扑近似结构。 3. 谱分析在降维中的应用： 探讨了如何使用谱方法来优化嵌入，确保嵌入后的数据最大程度地保留了原始数据的拓扑信息。 第四部分：高阶结构与张量表示 随着数据复杂性的增加，单靠成对关系（边）已不足以描述其结构。本部分转向了高阶结构分析，即单纯复形（Simplicial Complexes）的推广。我们详细介绍了高阶关联（Higher-Order Dependencies）的建模技术，特别是涉及超图（Hypergraphs）和单纯复形网络。 关键章节集中于拓扑特征的张量化。我们展示了如何将持续同调特征向量转化为高阶张量表示，以便于深度学习模型进行处理。此外，本书还探讨了流形学习框架下对更高阶拓扑不变量（如环面、更高维的拓扑缺陷）的估计方法，并给出了在流形上进行拓扑梯度下降的理论基础。 第五部分：实际挑战与算法实现 最后一部分将理论与计算实践紧密结合。我们不仅讨论了理论的优雅性，更直面了大规模数据带来的工程挑战。 内容涵盖： 计算效率与并行化： 针对大规模过滤（Filtration）过程的优化算法，包括基于GPU的并行化策略。 拓扑特征的可视化与解释： 介绍了如何使用拓扑特征图谱（Topological Feature Maps）和热力图来解释复杂模型的决策边界。 噪声与不完整数据下的鲁棒性： 提供了应对缺失数据和传感器噪声的标准统计修正方法，包括引导采样（Guided Sampling）策略。 本书的读者将掌握从数据采集到拓扑结构提取、再到谱理论解释和高阶模型构建的完整工具链。通过大量的理论推导、精选的算法流程图以及针对实际数据集的案例分析，《拓扑数据分析中的高维几何与谱方法》无疑将成为该领域研究生和前沿研究人员不可或缺的工具书。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆