Approximate Solution of Operator Equations with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Argyros, Ioannis

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:

价格:$ 103.96

装帧:HRD

isbn号码:9789812563651

丛书系列:

图书标签:

• Operator Equations
• Numerical Analysis
• Approximation Theory
• Functional Analysis
• Iterative Methods
• Applications
• Mathematics
• Scientific Computing
• Engineering
• Algorithms

《算子方程近似解及其应用》 本书聚焦于一类在数学、物理、工程等多个领域占据核心地位的数学难题：如何有效地求解算子方程的近似解。算子方程，作为描述系统演化、平衡状态或潜在关系的强大数学工具，其精确求解往往因问题的复杂性、高维度或非线性特性而变得异常困难，甚至在多数情况下是不可能的。因此，发展和分析可靠的近似解方法成为理论研究和实际应用的关键。 本书系统地梳理和深入探讨了一系列针对算子方程的数值逼近技术，并特别强调了这些技术在不同应用场景下的可行性和收敛性分析。内容涵盖了从经典的变分法、差分法到现代的有限元法、谱方法等主流理论框架。 第一部分：理论基础与算子方程概述 在开篇，本书首先为读者建立起坚实的数学基础。我们详细回顾了泛函分析中关于算子理论的核心概念，包括有界线性算子、紧算子、自伴算子以及希尔伯特空间和巴拿赫空间的基本性质。在此基础上，我们正式引入了算子方程的经典形式，如勒让德方程、积分方程（Fredholm和Volterra类型）以及微分方程的算子表示形式。 重点在于，我们区分了线性和非线性算子方程，并讨论了在不同函数空间中解的存在性、唯一性及稳定性问题。这部分内容为后续的近似构造奠定了必要的理论前提，确保读者理解为何需要近似，以及在什么条件下近似解才具有意义。 第二部分：经典近似方法及收敛性分析 本部分是本书的核心技术探讨。我们首先从变分原理出发，深入剖析了伽辽金（Galerkin）方法。详细阐述了如何选择合适的试函数空间（如多项式基、分段线性基等），并通过能量泛函的最小化来构造近似解。书中对伽辽金方法在不同正则性条件下（如Sobolev空间）的误差估计进行了严谨的推导，重点分析了逼近误差与基函数选择的关系。 随后，我们将重点转向有限元方法（FEM）。FEM被誉为处理复杂几何和边界条件的利器。本书不仅解释了如何构建形函数和积分单元，还详尽地讨论了刚度矩阵和载荷向量的组装过程。我们特别关注了非线性算子方程（如纳维-斯托克斯方程的某些离散化）的迭代求解策略，如牛顿法和修正牛顿法在有限元框架下的应用。误差分析部分，侧重于一致误差估计和 $L^2$ 误差的界限。 此外，本书也涵盖了谱方法（Spectral Methods），如切比雪夫谱法和傅里叶谱法。对于光滑解的问题，谱方法展现出卓越的指数收敛特性。我们解释了如何利用正交多项式基将算子方程转化为高维代数方程组，并讨论了其在周期性边界条件下的优势。 第三部分：迭代求解与预处理技术 许多大型算子方程的离散化会导致极其庞大的线性或非线性代数系统。精确求解这些系统在计算上是不可行的。因此，本书将大量篇幅用于讨论高效的迭代解法。 对于线性系统，我们详细分析了Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）、广义最小残量法（GMRES）以及双共轭梯度法（BiCGSTAB）。这些方法的效率极大程度上依赖于预处理器的性能。本书对代数预处理器进行了深入的探讨，包括代数多重网格（AMG）、不完全LU分解（ILU）和舒尔补预处理技术。 对于非线性问题，迭代过程通常需要与源问题的求解过程交织进行。我们分析了域分解方法（Domain Decomposition Methods），如施瓦茨交替方法和基于乘子的方法（FETI），它们能有效地将大问题分解为可以在并行架构上独立求解的小问题，极大地提高了计算效率。 第四部分：特定算子方程的应用实例 最后，本书通过一系列具体的应用案例，展示了上述理论方法的实际效力。 1. 偏微分方程（PDEs）的近似： 针对椭圆型、抛物型和双曲型方程，我们展示了如何选择合适的空间离散化（如有限体积法或有限元法）和时间离散化（如Crank-Nicolson或Runge-Kutta方法），以解决热传导、波动传播等问题。 2. 积分方程的求解： 针对Fredholm第二类积分方程，我们探讨了如何使用Nyström方法（高斯求积法）或核的低秩逼近来将其转化为易于处理的线性代数问题。 3. 优化问题的算子视角： 在最优控制和数据拟合问题中，算子方程往往是拉格朗日函数导出的KKT条件。本书展示了如何利用共轭梯度法求解这些大规模的对称正定系统，并讨论了正则化技术（如Tikhonov正则化）在处理病态问题时的作用。 本书旨在为从事数值分析、应用数学、计算物理以及工程计算的研究人员和高年级学生提供一个全面、深入且具有实践指导意义的参考，强调理论的严谨性与算法的有效性相结合。通过对收敛性、稳定性和计算复杂度的细致分析，读者将能够根据实际问题的特性，选择并实现最合适的算子方程近似求解策略。

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