Morse Theoretic Methods in Nonlinear Analysis and in Symplectic Topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Biran, Paul (EDT)/ Cornea, Octav (EDT)/ Lalonde, Francois (EDT)

出品人:

页数:476

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 315.27

装帧:HRD

isbn号码:9781402042720

丛书系列:

图书标签:

• Morse理论
• 非线性分析
• 辛拓扑
• 拓扑学
• 微分几何
• 变分方法
• 临界点理论
• 数学分析
• 固定点定理
• 几何分析

《非线性分析与辛几何中的莫尔斯理论方法》内容概述 本书是一部深入探讨拓扑学、微分几何与数学物理交叉领域前沿课题的专著，旨在系统性地阐述和应用莫尔斯理论（Morse Theory）及其现代推广在非线性分析和辛几何中的强大工具。全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从基础理论的建立到前沿应用的多个层面，对几何分析领域的深刻洞察力贯穿始终。 第一部分：莫尔斯理论的基础与分析基础 本书的开篇部分致力于构建坚实的理论基础，聚焦于经典莫尔斯理论的精髓，并将其提升至现代微分拓扑的框架下进行审视。 第一章：光滑流形与微分结构的回顾 本章首先回顾了研究对象——光滑流形的必要背景知识。详细阐述了切丛、张量代数、微分形式以及李导数等核心概念。重点在于建立一个严密的微分几何语言，这是后续所有分析工作的基础。 第二章：临界点理论与莫尔斯函数 本章的核心是引入莫尔斯函数的概念。区别于简单的光滑函数，莫尔斯函数被定义为在所有临界点处具有非奇异 Hessian 矩阵的函数。通过对临界点的分类（指数、秩和退化度），本章引入了局部分析的工具。详细分析了临界点的局部结构，例如通过退化二次型分解来理解流形在临界点附近的拓扑行为。 第三章：莫尔斯引理与链复形 莫尔斯理论的分析核心——莫尔斯引理被详尽阐述。本章证明了莫尔斯引理，即如何通过一个局部坐标变换将流形上的莫尔斯函数局部化为二次型。基于此，引入了关键的构造：莫尔斯链复形（Morse Chain Complex）。定义了边界算子（Boundary Operator），它与流形上的梯度流（Gradient Flow）的稳定流形（Stable and Unstable Manifolds）之间的关系被仔细剖析，这是连接分析（流的动力学）与拓扑（同调群）的桥梁。 第四章：同调理论的衔接 本章将代数拓扑的工具引入进来。详细介绍了链复形、拟同态、以及同调群的构造。通过链复形的微分算子，明确了莫尔斯同调群（Morse Homology）的定义。本书证明了莫尔斯同调群与流形本身的奇异同调群（Singular Homology Group）之间的同构关系，这是莫尔斯理论的基石性成果。 第二部分：非线性分析中的应用与推广 在奠定了基础之后，本书转向莫尔斯理论在解决复杂非线性偏微分方程（PDEs）和变分问题中的应用。 第五章：变分问题与能量泛函 本章探讨如何将物理或工程中的泛函（Functionals）视为光滑函数作用于无限维空间（如希尔伯特空间或巴拿赫空间）上的莫尔斯函数。重点分析了这些泛函的临界点（对应于方程的解）的性质。引入了山路引理（Mountain Pass Lemma）和注水引理（Saddle Point Theorem）等局部极值原理，它们是寻找非平凡解的关键工具。 第六章：退化莫尔斯理论与更一般临界点 经典莫尔斯理论要求临界点是二次可逆的。本章则深入探讨了退化临界点（Degenerate Critical Points）的情况，这些点在非线性分析中极为常见。引入了诸如聚焦点理论（Focal Point Theory）和更高阶的临界点分析技术，例如利用李雅普诺夫-施密特（Lypuonov-Schmidt）降维方法来研究退化情况下的拓扑性质。 第七章：拟度量与梯度流的动力学分析 本章关注梯度流的长期行为。通过分析由泛函的负梯度定义的动力系统，考察解的收敛性、周期性轨道（如极小周期轨道）的存在性。引入了庞加莱-霍普夫定理在无限维空间中的类比，以及关于流形上孤立子（Solitons）或嵌入式解（Embedded Solutions）的拓扑限制。 第三部分：辛几何中的莫尔斯理论 本书的最后部分将视角转向几何结构更为丰富的辛流形，探讨莫尔斯理论如何被转化为辛拓扑的强大工具。 第八章：辛流形与哈密顿动力学 本章回顾了辛几何的基本概念，包括辛形式、泊松括号和哈密顿向量场。将哈密顿量视为辛流形上的一个函数，其零水平集上的解的结构与莫尔斯理论中的临界点紧密相关。重点分析了辛流形上的测地线（Geodesics）作为欧拉-拉格朗日方程的解，并探讨了其能量泛函的莫尔斯性质。 第九章：辛拓扑中的循环与环 本书的核心突破之一体现在连接辛几何与拓扑的工具——辛同调（Symplectic Homology）的建立。本章详细阐述了如何利用辛流形上的拉格朗日纤维丛（Lagrangian Fibrations）构造莫尔斯链复形。证明了通过遍历哈密顿流（Hamiltonian Flow）的周期轨道，可以生成辛流形上的关键拓扑不变量。 第十章：福尔斯理论与规范场论的交叉 最后，本章将主题提升到规范场论和更深层次的几何分析。讨论了福尔斯理论（Floer Homology）的起源和结构，它本质上是莫尔斯理论在辛流形上，利用欧几里得规范理论的推广形式——拉格朗日流的梯度流的推广——的系统化应用。这部分内容展示了莫尔斯理论如何成为理解杨-米尔斯理论以及拓扑场论中基本不变式的核心方法。本书强调了对“莫尔斯零层”（Morse Zero Level）的理解，即拉格朗日子流形之间的链映射，是连接不同几何结构的关键。 全书的论证高度依赖于细致的分析技巧和深刻的几何直觉，旨在为高级研究人员和研究生提供一个全面、深入且实用的参考框架，以应对现代数学物理中出现的复杂几何问题。

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