Numerical Approximation Methods for Elliptic Boundary Value Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Steinbach, Olaf

出品人:

页数:398

译者:

出版时间:2007-11

价格:$ 67.74

装帧:HRD

isbn号码:9780387313122

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 椭圆边界值问题
• 有限元
• 有限差分
• 谱方法
• 偏微分方程
• 数值分析
• 科学计算
• 数学建模
• 边界元方法

深入探索偏微分方程的数值解法：有限元与有限差分技术的前沿应用 图书名称： 偏微分方程数值求解：理论基础与实际计算 内容简介： 本书旨在为研究人员、高级本科生及研究生提供一套全面且深入的现代数值方法框架，专注于解决具有挑战性的偏微分方程（PDEs），特别是那些在物理、工程和数学领域中占据核心地位的方程组。我们聚焦于两大主流且高效的数值离散技术：有限元方法（FEM）和有限差分方法（FDM），并辅以现代计算科学中不可或缺的迭代求解器。本书的叙述风格力求严谨而不失清晰，强调理论的内在逻辑与算法的实际可操作性之间的桥梁。 第一部分：偏微分方程的理论基础与离散化思想 本部分首先回顾了椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程的数学结构及其在不同物理场景中的重要性，例如热传导、流体力学和电磁场问题。我们详细阐述了这些方程的弱形式（变分形式）的建立过程，这是现代有限元方法的理论基石。 1.1 椭圆型方程的变分基础： 重点探讨了泊松方程和亥姆霍兹方程的能量最小化原理。我们深入分析了Sobolev空间、迹定理以及函数在特定范数下的完备性，为后续的误差分析奠定严格的数学基础。 1.2 稳定性和一致性： 讨论了数值方法的收敛性判据，包括Lax等价定理在线性问题中的具体应用。我们将数值格式的稳定性和近似解与精确解之间的误差项进行了量化分析。 1.3 空间离散化的选择： 对比了局部化近似方法（如FDM）和全局基函数方法（如FEM）的优劣。我们阐释了为何在处理复杂几何形状和不规则边界时，基于形函数的Galerkin方法展现出结构性优势。 第二部分：有限差分方法的深度剖析与高级应用 有限差分方法（FDM）以其直观的推导过程和在规则网格上的高效性而著称。本部分将FDM的讨论提升到更高的层次，超越了基础的一阶和二阶差分近似。 2.1 高阶精度差分格式： 详细推导了基于泰勒展开的五点、九点格式乃至更高阶的中心差分和单边差分格式。我们关注于如何利用待定系数法构造具有特定截断误差的紧致（Compact）差分格式，以提高计算效率。 2.2 边界处理的精细化： 边界条件（Dirichlet, Neumann, Robin）在FDM中的精确映射是关键。我们探讨了非均匀网格下边界条件的插值技术，以及如何处理曲面边界的“阶梯效应”（Stair-casing effect）。 2.3 稳定性的深入探究： 对于时间相关的演化问题，我们对显式、隐式和Crank-Nicolson格式进行了详尽的Von Neumann稳定性分析，特别关注了绝对稳定区域和条件稳定性的差异，以及如何选择合适的时间步长。 第三部分：有限元方法的结构化构建与实施 有限元方法（FEM）是解决复杂几何和材料非均质问题的首选工具。本书将详细拆解构建一个完整的FEM求解器的所有必要组件。 3.1 单元基础与形函数： 聚焦于一维、二维和三维空间中的线性、二次和三次多项式形函数（Lagrange插值）。讨论了这些形函数在局部坐标系（如自然坐标 $xi, eta$）下的构造及其雅可比行列式在网格畸变处理中的作用。 3.2 刚度矩阵和载荷向量的装配： 这是FEM计算的核心。我们详细演示了如何使用数值积分（如高斯-勒让德积分）来精确计算单元刚度矩阵的元素，并阐述了全局系统矩阵的稀疏结构和高效装配算法。 3.3 边界条件的嵌入： 相较于FDM，FEM中Neumann边界条件的处理更为自然（通过边界积分项引入）。我们将系统地展示如何将Dirichlet条件通过约束或修改矩阵行/列来实施，并分析不同嵌入策略对系统矩阵奇异性的影响。 3.4 网格生成与自适应： 探讨了结构化网格和非结构化网格（如三角网格、四面体网格）的优缺点。引入了基于残差或能量密度的a-refinement和h-refinement策略，实现计算资源的优化分配。 第四部分：大规模线性系统的迭代求解器 无论是FDM还是FEM，最终都导向求解一个大型、稀疏、通常是对称正定的线性代数方程组 $Ax=b$。本部分专注于高效的求解算法。 4.1 直接法与稀疏性保持： 讨论了Cholesky分解和LU分解在处理大型稀疏矩阵时的挑战（如填充因子 Fill-in）。重点介绍了用于保持稀疏性的矩阵重排序技术（如Minimum Degree Ordering）。 4.2 迭代法的核心： 详细分析了最基础的迭代法（雅可比、高斯-赛德尔）及其收敛速度。随后深入探讨了Krylov子空间方法，包括共轭梯度法（CG）用于对称正定系统，以及双共轭梯度法（BiCGStab）和广义最小残量法（GMRES）用于非对称系统。 4.3 预处理技术（Preconditioning）： 迭代法的收敛速度高度依赖于预处理器的质量。我们详尽介绍了三种关键的预处理器设计： 代数预处理： 不完全LU分解（ILU）和不完全Cholesky分解（IC）。 基于矩阵分解的预处理： 块对角占优（SSOR）预处理。 基于问题的预处理： 区域分解方法（如Schwarz方法）和多重网格法（Multigrid Methods）。 第五部分：高级主题与面向未来的挑战 最后，本书将目光投向当前研究的热点和前沿领域。 5.1 多重网格方法的理论与实践： 从二维泊松问题的V-cycle和W-cycle推导出发，系统阐述了正则化、升采样和降采样算子的构造。重点分析了多重网格法的渐近最优复杂度 ($mathcal{O}(N)$)。 5.2 耦合问题的求解策略： 针对流固耦合（FSI）或流化学耦合等涉及不同物理模型的系统，探讨了整体隐式方法（Fully Implicit）与分裂迭代方法（Partitioned/Staggered）的适用场景和稳定性权衡。 5.3 基于GPU和并行计算的加速： 讨论了如何将稀疏矩阵向量乘法（SpMV）和预处理器操作迁移到高性能计算架构（如CUDA/OpenMP）上，以应对模拟的尺度爆炸。 本书的每一章都包含丰富的理论证明、详尽的算法描述，并辅以清晰的伪代码示例和实际的算例分析，旨在使用户不仅理解“如何”计算，更深刻理解“为何”这些方法有效。本书适合希望从原理层面掌握数值模拟技术，并致力于解决实际工程难题的读者。

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