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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Wulf Rossmann

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2006-08-24

价格:USD 80.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199202515

丛书系列:Oxford Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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• 李群
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《群论：代数结构的探索与应用》 一、 穿越代数迷宫：群论的基石 在我们探索数学世界的深邃海洋时，代数结构无疑是其中最引人入胜的礁石之一。而在这片广袤的代数领域里，群论，犹如一座巍峨的灯塔，以其简洁而强大的公理体系，照亮了理解和描述对称性、变换以及抽象关系的道路。本书《群论：代数结构的探索与应用》旨在引领读者深入群论的核心，从最基础的概念出发，逐步构建起对这一强大数学工具的深刻理解，并揭示其在各个领域的广泛应用。 群，简而言之，是一个集合，其中定义了一种二元运算，这种运算满足四个基本公理：封闭性（任意两个元素的运算结果仍在该集合内）、结合律（运算的顺序不影响结果）、单位元（存在一个特殊的元素，与任何其他元素运算结果不变）以及逆元（集合中的每个元素都有一个对应的逆元，与该元素运算得到单位元）。看似简单的四个公理，却蕴含着无穷的可能性，构成了支撑整个群论大厦的坚实地基。 本书将从这些基本公理出发，细致地阐述群的定义、例子以及一些初步的性质。我们将看到，即使是最简单的集合，一旦引入群的运算，便能展现出令人惊叹的结构。从整数集下的加法群，到非零实数集下的乘法群，再到置换群和对称群，这些生动的例子将帮助读者直观地理解抽象的群概念，并为后续更深入的学习打下坚实的基础。 二、 结构之美：子群、陪集与正规子群 一旦我们掌握了群的基本概念，接下来便是要探究群内部的结构。子群，顾名思义，是群的“小兄弟”，它们是原群的子集，并且自身也构成一个群。子群的发现，能够帮助我们分解复杂的群，研究其更精细的结构。本书将详细讲解子群的判定方法，并通过大量实例，如整数集 $mathbb{Z}$ 的子群，来巩固读者的理解。 陪集，则像是将群的元素划分成不同的“班级”。对于群 $G$ 和其子群 $H$，左陪集 $aH = {ah mid h in H}$ 和右陪集 $Ha = {ha mid h in H}$ 将群 $G$ 分割成一系列互不相交的集合。陪集的分析，是理解群阶、拉格朗日定理等重要概念的关键。我们将深入探讨陪集的性质，以及它们如何揭示群的内部协调性。 在众多的子群中，正规子群（或称不变子群）占据着特殊的地位。一个子群 $N$ 如果满足对于群 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gN = Ng$，那么它就是一个正规子群。正规子群的意义在于，它们能够构成“商群”（或称“因子群”）。商群的构造，极大地扩展了我们研究群的工具箱，使得我们可以从更抽象的层面去理解群的同态映射，并最终引出群论中最重要的分类定理。本书将详细阐述正规子群的定义、性质以及商群的构造过程。 三、 同态与同构：映射的奥秘与结构的等价 在数学中，我们常常关心不同数学对象之间的相似性。在群论中，群同态和群同构扮演着这样的角色。 群同态是一个从一个群到另一个群的映射，它保持了群的运算结构。也就是说，如果 $phi: G o H$ 是一个群同态，那么对于 $G$ 中的任意两个元素 $a, b$，都有 $phi(ab) = phi(a)phi(b)$。同态映射揭示了群之间的“结构相似性”，它允许我们在不同群之间传递信息，研究它们的内在联系。本书将深入探讨同态的性质，特别是核（kernel）和像（image）的概念，它们对于理解同态的重要性至关重要。 而群同构，则是同态的一种特殊情况。如果一个同态映射不仅保持结构，而且是单射（一对一）和满射（映上）的，那么我们就称这两个群是同构的。同构的群在代数的意义上是完全相同的，它们只是“披着不同外衣”的同一个结构。通过识别群的同构关系，我们可以将不同形式出现的群归结到少数几个基本类型，极大地简化了群的研究。本书将通过丰富的例子，演示如何判定群的同构性，并展示同构在简化问题中的威力。 四、 群的表示：代数对象的可视化 抽象的群论概念有时难以直观理解，而群的表示理论则为我们提供了一种将抽象群“翻译”成更具体、更易于操作的数学对象的方法，最常见的形式是将群映射到线性代数中的矩阵群。 本书将介绍群表示的基本思想，即寻找一个群同态，将群 $G$ 的元素映射到某个向量空间的线性变换（通常是可逆矩阵）。这种映射必须保持群的运算。通过研究这些矩阵表示，我们可以利用线性代数的强大工具来分析群的性质，例如群的阶、元素的阶、子群结构等等。我们将探讨几种重要的表示类型，如线性表示，并讨论如何通过特征标（character）等概念来区分不同的表示。 群的表示理论在物理学（特别是量子力学和粒子物理学）、化学（分子对称性）以及密码学等领域有着极其重要的应用。它使得我们可以用代数工具来研究物理系统中的对称性，例如晶体结构、分子的振动模式以及基本粒子的对称性。 五、 应用的广度：从对称性到编码理论 群论的魅力远不止于其优美的代数结构，更在于它作为一种普适性工具，能够渗透到科学和工程的各个角落。本书将在群论的基础之上，重点探讨其在多个关键领域的应用。 对称性研究： 群论是研究对称性的终极语言。从几何图形的旋转对称、反射对称，到物理学中基本粒子的内禀对称性，再到化学分子中的对称性，群论提供了一个严谨的框架来描述和分析这些对称性。本书将通过介绍对称群（例如二面体群 $D_n$）等实例，展示群论如何精确地刻画和分类各种对称性。 密码学： 在现代密码学中，群论扮演着至关重要的角色。许多加密算法，特别是公钥密码算法（如 RSA），都依赖于某些数学群（例如整数模 $n$ 的乘法群）的难以破解的数学难题。本书将简要介绍群论在密码学中的基本应用，例如有限域上的群以及它们在加密算法中的作用。 编码理论： 错误纠正码是通信和数据存储的关键技术。群论，特别是线性代数与群论的结合，为构造和分析这些编码提供了强大的理论基础。本书将探讨群码的概念，以及如何利用群的结构来设计具有良好纠错性能的编码方案。 其他领域： 除了上述主要应用之外，群论还广泛应用于组合数学、图论、数论、拓扑学等多个数学分支，并在计算机科学、人工智能等领域展现出越来越重要的价值。 结语： 《群论：代数结构的探索与应用》旨在为读者提供一个全面而深入的群论入门。我们从最基础的定义出发，逐步深入探讨群的内部结构、映射关系以及表示理论，最终触及群论在各个领域的广泛应用。本书不仅追求理论的严谨性，更注重概念的清晰传达和实际应用的展示。通过本书的学习，读者将能够掌握群论这一强大的数学工具，并为进一步探索更高级的代数和数学分支打下坚实的基础。希望本书能够激发读者对群论的浓厚兴趣，并引导他们发现数学世界中无处不在的对称之美和结构之韵。

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坦白讲，这本书的难度是摆在那里的，它不是为那些只想应付考试的人准备的“速成手册”。但如果你真的渴望掌握李群理论的精髓，这本书是无可替代的。我尤其欣赏作者在引入一些核心概念时所展现的“历史感”和“动机性”。比如，它在讲解如何构造李代数时，不是直接抛出公式，而是先探讨了为什么需要这样的结构来研究那些无穷小变换。这种“问其所以然”的叙事方式，极大地激发了我的学习热情。书中的习题设计也是一流的，它们不仅是检验你是否理解了概念，更是引导你进行更深入思考的阶梯。有些习题看似简单，实则暗藏玄机，需要你综合运用前面学到的多个知识点才能攻克。我花费了大量时间在上面，但每一次的突破都带来了巨大的成就感。这本书需要耐心，需要时间沉淀，但它回报你的，将是对一个重要数学分支的深刻而全面的掌握。

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哇，这本《李群》（Lie Groups）的书简直是数学界的瑰宝！我刚翻开没几页，就被作者那严谨而又充满洞察力的叙述深深吸引住了。首先，它的结构安排得极具匠心。从最基础的群论概念出发，逐步过渡到微分流形，然后水到渠成地引入李群和李代数的结构。这种循序渐进的方式，对于一个初次接触这个领域的读者来说，简直是福音。书中对例子和直观解释的把握拿捏得恰到好处，比如讲解伴随表示时，那种清晰的几何图像感，让我瞬间理解了抽象定义背后的物理意义。作者似乎非常懂得如何平衡数学的抽象美与实际应用的直观性。我特别欣赏它在证明细节上的处理，既保证了严密性，又不会让人感到窒息。很多其他教材中一笔带过的地方，在这里都被铺陈得非常详尽，让你能真正跟上作者的思路，而不是被动接受结论。这本书无疑是为那些真正想“理解”而不是仅仅“学会”李群理论的人准备的。它不仅仅是一本教科书，更像是一次数学思想的深度对话。

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这本书给我的最大感受是“优雅”与“强大”。它的理论体系构建得如同精密的瑞士钟表，每一个齿轮——无论是拓扑性质、微分结构还是代数运算——都紧密咬合，协同运作。对于那些研究广义相对论、规范场论或量子力学中对称性问题的物理学家来说，这本书简直是打开了一扇通往更高维度理解的大门。作者在处理非紧致群的表示理论时，展示了惊人的洞察力，那些原本晦涩难懂的抽象运算，通过书中精心设计的矩阵例子和图形辅助，变得可视化、可触摸。我过去在其他地方读到的那些关于单连通性或根系的文章，在这里都被统一在一个宏大的框架下得到了解释。这种整合能力是这本书最宝贵的地方。它不是简单地罗列事实，而是构建了一个完整的理论世界，让你沉浸其中，感受数学结构之美。

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作为一名有着多年阅读数学著作经验的读者，我必须指出，这本书在对读者“先验知识”的要求上是相当坦诚的。它并不试图去重述所有预备知识，而是直接切入主题，这对于已经具备扎实微积分、线性代数和基础拓扑知识的读者来说，效率极高。我个人最喜欢的部分是关于流形上张量场的讨论，那是真正将李群的代数属性提升到微分几何层面的关键一步。作者对指数映射的讨论也极为细致入微，包括它在不同条件下的性质和限制。这种对边界情况和潜在陷阱的关注，体现了作者极高的学术审慎性。这本书的行文风格非常适合深入学习，它的密度很高，每一页都信息量爆棚，需要你边读边做笔记，甚至时不时地需要停下来，在纸上重演一遍证明的关键步骤。它不是用来消遣的，是用来啃硬骨头的，但啃下来的每一口都营养丰富。

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我不得不说，市面上关于这个主题的书籍汗牛充栋，但很少有能像这本《李群》这样，将理论的广度和深度完美融合的。它的内容覆盖面令人印象深刻，从基础的矩阵李群，深入到更抽象的表示论、黎曼几何与李群的交叉点。我特别留意了关于紧致群的结构理论那部分，作者的论述清晰流畅，把复杂的高维几何直观地展现在眼前。阅读体验非常棒，它的排版和符号使用都非常规范，大大减少了阅读过程中的认知负担。更难能可贵的是，作者似乎非常注重理论之间的联系，不像有些书那样将各个章节割裂开来。你会发现，微分几何的工具是如何自然地服务于李群的分类，而表示论又是如何揭示这些群的内部奥秘的。读完之后，我感觉自己对整个数学物理领域都有了更深一层的认识，它提供了一个无比坚实的基础框架，让你在未来探索任何更高级课题时，都能胸有成竹。这绝对是一本可以反复研读，每次都能发现新东西的经典之作。

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