Characteristic Functions and Models of Nonself-Adjoint Operators pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Kuzhel, A.

出品人:

页数:254

译者:

出版时间:1995-11

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780792338796

丛书系列:

图书标签:

• 谱理论
• 非自伴算子
• 特征函数
• 算子模型
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 数学物理
• 算子论
• 无穷维空间
• 扰动理论

函数解析、矩阵理论与谱分析：面向应用的新视角 本书聚焦于现代数学物理与工程领域中不可或缺的核心工具：算子理论、泛函分析与矩阵分析。 旨在为研究生、高级本科生以及研究人员提供一个严谨而直观的框架，理解如何将抽象的数学结构应用于解决实际问题，尤其是在量子力学、信号处理、控制理论以及偏微分方程的解的稳定性分析中。本书不涉及关于特征函数或非自伴算子特定构造的详细讨论，而是着重于线性空间、拓扑结构、谱理论的基础构建及其在实际建模中的应用潜力。 第一部分：线性代数与泛函分析的基石 本书的第一部分为后续深入探讨奠定坚实的基础，侧重于从有限维到无限维空间的过渡，并强调算子理论在函数空间上的体现。 第1章：线性空间与拓扑结构回顾 本章从线性代数的基本公理出发，迅速过渡到无限维空间的概念。重点讨论向量空间的定义、子空间、线性映射及其性质。随后引入拓扑概念，包括度量空间（如 $mathbb{R}^n$ 上的欧几里得范数、泛函空间上的 $L^p$ 范数）和拓扑结构（开集、闭集、紧集）。详细阐述了赋范线性空间的Banach 空间结构，以及引入内积和完备性的Hilbert 空间概念。对共轭空间和有界线性泛函的性质进行了详尽分析，为后续讨论弱收敛和对偶性打下基础。 第2章：线性算子的基本性质与界 本章将焦点集中在线性算子本身。首先定义了从一个赋范空间到另一个赋范空间的线性映射。核心内容在于有界线性算子的定义、范数的计算及其在算子代数中的地位。引入了闭算子的概念，并讨论了算子有界性与连续性的等价性。特别关注了线性泛函的表示定理（如 Hahn-Banach 定理的直观意义），以及利用这些工具来确定线性方程组解的存在性和唯一性。 第3章：紧算子与谱理论的初步接触 本章开始探索更具结构性的算子。紧算子（或称预紧算子）被视为有限秩算子在无限维空间中的推广，它将无限维问题“拉回”有限维空间进行分析。详细讨论了紧算子的性质，如它们如何将序列映射到有界集内有极限点。基于紧算子，本章导出了有限维背景下的特征值问题的推广——紧算子的谱结构。讨论了谱半径的概念，并初步探讨了如何利用这些工具来分析常微分方程的解的稳定性。 第二部分：Hilbert 空间与自伴算子（正规算子） 第二部分是本书的重点，专门处理在数学物理中占据核心地位的自伴（或称厄米特）算子。在这些空间中，大量的理论工具（如谱分解）得以应用。 第4章：Hilbert 空间上的几何与投影 本章深入Hilbert空间，强调其内积结构带来的几何直观。讨论了正交性、正交分解以及正交投影的性质。重点阐述了投影定理，即任何闭凸子集都有最近点，以及闭子空间上的投影算子的具体构造。这些几何工具是理解算子分解的关键。 第5章：自伴算子与谱定理 本章详细阐述了自伴算子（Self-Adjoint Operators）的定义及其重要性。自伴算子在物理学中对应于可观测量的算符，其特征值必须是实数。核心内容是自伴算子的谱定理（Spectral Theorem for Self-Adjoint Operators），包括谱族（Projection-valued measure, PVM）的构造。详细推导了利用谱积分来定义函数演算（如 $f(A)$ 的定义），这使得我们可以将任意连续或可测函数应用于算子本身。 第6章：有界与无界自伴算子 本章区分了有界和无界算子。对于有界自伴算子，谱定理的应用相对直接。随后，本书引导读者进入无界自伴算子的理论，这在微分算子（如拉普拉斯算子）的分析中至关重要。讨论了最大对称性、自伴扩张的概念，以及如何利用领域（Domain）的选取来保证算子是自伴的。这部分强调了稠密定义域在确保谱理论适用的关键作用。 第三部分：算子在应用中的建模与分析 本书的最后一部分将理论框架应用于具体的应用场景，展示如何利用谱理论来解析实际系统。 第7章：常微分方程的谱分析 本章讨论如何将常微分方程（ODE）转化为带有特定边界条件的微分算子问题。重点分析斯特姆-李乌维尔（Sturm-Liouville）问题，这些问题自然地引出了正交函数系和自伴算子。通过计算特征值和特征函数，展示了如何利用傅里叶级数（基于特征函数展开）来求解非齐次问题或时间相关的演化方程的解。 第8章：偏微分方程的半群理论基础 本章引入半群理论，它是分析演化方程（如热传导方程、薛定谔方程）随时间演化的核心工具。基于Banach空间上的有界算子，定义了连续半群 $exp(tA)$。深入探讨了Hille-Yosida 定理，该定理提供了生成元（即方程中的微分算子）与半群存在的充要条件，从而将偏微分方程的解的存在性和长期行为与算子的某些代数性质联系起来。 第9章：应用中的矩阵近似与数值方法 虽然本书主要关注无限维空间，但本章强调了将无限维问题转化为有限维矩阵问题的必要性。讨论了截断方法（如有限差分法、有限元法的基础思想）如何生成特征值和特征向量的近似。重点在于分析这些有限矩阵特征值如何收敛到无限维算子的谱点，以及收敛的速度分析，为数值模拟的可靠性提供了理论依据。 --- 总结： 本书为读者提供了一套坚实的分析工具箱，使之能够理解和应用线性空间理论、算子谱理论的数学基础，特别是自伴算子在物理和工程中的核心地位。内容组织从基础拓扑概念出发，逐步构建起Hilbert空间、谱定理，并最终应用于微分方程的时空演化分析。

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