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出版者:Thomson Learning

作者:Rice, Bernard J./ Strange, Jerry D.

出品人:

页数:475

译者:

出版时间:

价格:94.95

装帧:HRD

isbn号码:9780534948245

丛书系列:

图书标签:

• 三角学
• 平面三角学
• 数学
• 高等数学
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• 教育

空间几何基础：从欧几里得到黎曼的几何演进 本书简介 《空间几何基础：从欧几里得到黎曼的几何演进》旨在为读者构建一个全面而深入的几何学知识体系，它不侧重于平面三角学的特定应用，而是着眼于三维乃至更高维空间的结构、度量、变换以及其内在逻辑。本书的叙述横跨了古典几何的严谨性、微分几何的分析工具，以及现代拓扑学的前沿概念，为读者提供一个理解宇宙空间形态的强大理论框架。 全书共分五大部分，结构清晰，由浅入深，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾概念的可理解性。 --- 第一部分：欧几里得空间的重访与深化 本部分首先回顾了我们赖以建立三维直观的欧几里得几何体系，但视角已超越初等教科书的范畴，侧重于其公理系统的完备性与内在矛盾的探索。 1. 欧几里得几何的公理基础与非欧几何的萌芽： 皮亚诺公理与集合论基础： 探讨了如何利用集合论和数理逻辑来严格定义点、线、面，并在此基础上构建实数域 $mathbb{R}^3$。 第五公设的挑战： 详细分析了平行公设的历史争议，及其对整个几何结构的影响。通过模型（如庞加莱圆盘模型）初步介绍非欧几何的基本思想，为后续的弯曲空间学习打下铺垫。 向量空间与内积结构： 引入 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积（点积），定义距离和角度的严格数学表达式。讨论线性变换在保持这些结构（如正交性）方面的性质，这是所有现代几何学分析的基础工具。 2. 坐标系与刚体运动： 坐标变换的群论视角： 将刚体运动（平移、旋转）视为欧几里得群 $E(3)$ 的元素。深入探讨正交矩阵在描述旋转时的性质，以及 Rodrigues 旋转公式的几何意义。 欧拉角与四元数的局限与优势： 对比描述三维姿态的各种方法，特别是四元数在避免万向锁问题上的优越性及其在计算机图形学和机器人学中的应用。 --- 第二部分：微分几何的初步展开 本部分是本书的核心过渡章节，将离散的几何对象提升到连续变化的层面，引入微积分工具来研究光滑空间（流形）的局部性质。 3. 曲线与曲面的局部分析： 空间曲线的微分几何： 重点介绍曲线的自然参数化，利用弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）标架来刻画曲线的弯曲程度和扭转程度。引入曲率 $kappa$ 和挠率 $ au$ 这两个内在不变量。 曲面的基本形式： 将曲面视为 $mathbb{R}^3$ 中的浸入，定义第一基本形式（度量张量）和第二基本形式。第一基本形式决定了曲面上的距离和角度测量，而第二基本形式则描述了曲面的弯曲程度。 主曲率与高斯曲率： 详细推导高斯曲率 $K$ 的概念，并阐述著名的“高斯绝妙定理”（Theorema Egregium）——高斯曲率是曲面的内蕴量，不依赖于曲面在外部空间中的具体嵌入方式。这为理解非欧几何提供了严格的分析工具。 4. 测地线与最速降线问题： 测地线的变分原理： 定义测地线为两点间“最短”的路径，并利用变分法（欧拉-拉格朗日方程）推导出测地线的微分方程。 特殊曲面上的测地线： 在平面、球面和双曲面上具体计算测地线，直观展示非欧几何中“直线”的形状。 --- 第三部分：黎曼几何与广义相对论的几何基础 本部分将视角从局部分析提升到整体结构，探索弯曲空间（流形）的整体拓扑和度量性质，这是现代物理学的基础。 5. 流形的概念与张量分析： 光滑流形的定义： 引入拓扑空间、开球、坐标图集和转移映射的概念，严格定义一个光滑 $n$ 维流形 $M$。 张量的代数与分析： 详细介绍协变、反变张量及其在流形上的运算。重点讨论共变导数（Covariant Derivative），这是在弯曲空间中定义“导数”和“平行移动”的关键。 黎曼曲率张量： 定义黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$，阐释它如何量化流形在每一点上的弯曲程度。通过里奇（Ricci）张量和数量曲率，连接到描述时空几何的爱因斯坦场方程。 6. 整体几何与拓扑： 测地线完备性： 讨论空间是否“无限延伸”，即所有测地线是否都能无限期地延续下去。 拓扑不变量： 引入欧拉示性数和贝蒂数等拓扑工具，用于区分本质上不同的几何形状（例如，区分球体和环面）。 --- 第四部分：闵可夫斯基时空与洛伦兹几何 本部分将前面建立的微分几何工具应用于四维时空，探讨狭义相对论背后的几何结构。 7. 闵可夫斯基空间的度量与因果结构： 非正定度规： 引入闵可夫斯基度规 $eta_{mu u} = ext{diag}(1, -1, -1, -1)$，解释其与欧几里得度规的根本区别——光锥（Light Cone）的存在。 洛伦兹变换群： 将洛伦兹变换视为保持闵可夫斯基度规不变的线性变换，分析其群结构 $O(1, 3)$。 因果关系与时间方向： 严格定义时间类、空间类和零类间隔，阐述光锥如何决定事件之间的因果顺序。 8. 时空中的测地线与物质运动： 固有时间与世界线： 探讨粒子在时空中的运动轨迹（世界线），以及如何通过最大化固有时间（而不是最小化距离）来定义惯性运动的测地线。 --- 第五部分：从经典到现代的几何视角整合 本部分对全书内容进行总结和展望，将几何学置于现代数学和物理学的交叉点上。 9. 拓扑几何与几何化： 庞加莱猜想与三维流形分类： 简要介绍几何化猜想（Perelman的成果），展示了如何利用几何结构（如黎曼度量）来分类三维拓扑空间。 纤维丛与规范场论的几何表述： 引入更高级的工具，如联络（Connection）和曲率（Curvature）在纤维丛上的定义，展示几何如何成为描述基本粒子相互作用（如电磁力、弱核力）的语言。 总结： 本书的读者将获得一套完整的、从欧几里得直觉到黎曼抽象的几何思维框架，能够理解和运用微分几何的核心工具来分析弯曲空间，并掌握支撑现代物理学（特别是广义相对论）的时空几何基础。重点在于理解“度量”、“曲率”和“不变性”在不同几何体系中的角色演变。

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我非常失望于这本书在例题解析上的敷衍态度。每一个例题后面都只有一个最终答案，中间的演算过程被完全省略了。对于一个还在摸索解题技巧的学生来说，光是知道答案是正确的毫无意义，关键在于“如何”得出这个答案。举例来说，一个涉及多步三角恒等式变换的证明题，正确的解题路径可能有很多条，书中不提供任何一种详细的示范，就好像是要求我们凭空想象出那个魔术般的转化过程。此外，书后附带的习题答案也存在明显的错误，我在核对好几道自测题时，发现书上的参考答案与我通过严谨推导得出的结果完全不符，这极大地打击了我的学习信心，让我不得不怀疑这本教材的整体准确性。这种缺乏步骤和错误百出的辅导材料，不仅没有帮助，反而成了学习路上的绊脚石。

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我发现这本书在理论阐述上显得过于单薄和跳跃，对于初学者来说简直是云里雾里。作者似乎默认读者已经完全掌握了代数和几何的基础，上来就直接抛出了复杂的定理和推导过程，中间的逻辑链条经常是断裂的，留下了大量的“显而易见”的空白，而这些“显而易见”恰恰是我最需要详细解释的部分。例如，在讲解三角函数在单位圆上的几何意义时，它只是简单地给出了定义，却没有花足够篇幅去解释为什么这些定义可以完美地扩展到任意角度，更别提涉及复数或更高级主题时的过渡了。习题的设计也同样令人失望，前几章的练习题几乎都是机械性的数值代入，缺乏对概念理解深度的检验；而到了后面稍微复杂一点的应用题，其情境设置又显得十分生硬和不自然，让人完全感受不到三角学在现实世界中的实际用途。我不得不花大量时间去查阅其他更详尽的网络资源，这本书作为主要教材，其引导性作用几乎为零。

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这本书的章节安排和知识点组织逻辑混乱得令人发指。它似乎试图在一个非常有限的篇幅内塞入所有能想到的三角学内容，结果就是重点不突出，次要知识点却被放在了显眼的位置上。比如，它把正弦定理和余弦定理这种核心工具放在了讲解三角函数图象变化之后，这完全不符合学习的认知规律。我们应该先建立起对函数基本性质的直观感受，再利用这些工具去解决三角形的边角关系问题，而不是本末倒置。更奇怪的是，作者在介绍完弧度制后，紧接着就跳到了三维空间中的三角关系，这种跨越式的进阶让我在尝试构建知识体系时感到了极大的阻碍。我感觉自己不是在学习一门连贯的学科，而是在阅读一份随机抽取的数学知识卡片合集。如果能按照“基础定义—平面几何应用—函数性质—级数与复数联系”这样的主线进行梳理，学习效率会高出不止一个档次。

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这本教材的排版简直是一场灾难，纸张质量也令人沮丧。我拿到书的时候，首先注意到的是封面设计极其平庸，完全没有吸引力，仿佛是随便找了几个数学符号拼凑出来的。内页的印刷质量尤其糟糕，有些字母和数字模糊不清，特别是在处理复杂的三角函数公式时，那个小小的角度符号经常与旁边的数字粘连在一起，看得人十分头疼。更要命的是，书本的装订非常松散，仅仅翻阅了几次，就已经有好几页书页开始松动，我甚至担心它在图书馆的架子上待不了多久就会散架。而且，它的索引做得极其不人性化，很多关键概念的查找非常困难，翻页找公式就像大海捞针，浪费了我大量宝贵的时间。阅读体验从一开始就建立在一种挫败感之上，让人很难集中精力去理解那些本就抽象的数学原理。我希望出版商能在再版时，至少在物理质感上做出巨大的改进，因为一本工具书如果连最基本的阅读舒适度都无法保证，那它的价值也会大打折扣。

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从使用体验的角度来看，这本教材的配套资源几乎为零，让我感觉自己像是在一个信息孤岛上学习。市面上许多优秀的数学教材都会提供在线练习、教师用书或者解题视频的链接，至少能让学生在遇到困难时找到额外的支持。然而，翻遍全书，我找不到任何指向数字化辅助工具的有效指引。这意味着，一旦我错过了课堂上的讲解，或者需要复习某个特定主题，我就完全失去了获取即时反馈和多元化解释的渠道。这在现代教育环境下是不可接受的。一本好的教材，其价值不仅仅在于纸面上的文字，更在于它所能构建的整个学习生态系统。这本《Plane Trigonometry》似乎只停留在上个世纪的出版模式，无法满足当下学生对交互式、多媒体学习的需求，其作为独立学习资料的实用性大打折扣。

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