Six Lectures on Commutative Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Elias, J. (EDT)/ Giral, J. M. (EDT)/ Miro-Roig, Rosa Maria (EDT)/ Zarzuela, S. (EDT)

出品人:

页数:398

译者:

出版时间:

价格:137

装帧:HRD

isbn号码:9783764359515

丛书系列:

图书标签:

• Commutative Algebra
• Algebraic Geometry
• Noetherian Rings
• Ideals
• Modules
• Localization
• Primary Decomposition
• Cohen-Macaulay Rings
• Homological Algebra
• Polynomial Rings

好的，这是一本关于代数几何中拓扑学主题的著作的详细简介，重点在于介绍与交换代数紧密相关的几何概念，而不涉及您提到的那本关于交换代数的书的具体内容。 书名：《代数簇的拓扑结构：黎曼曲面与复流形导论》 作者：[虚构作者名] 出版社：[虚构出版社名] ISBN: [虚构ISBN] 字数：约 1500 字 内容简介 《代数簇的拓扑结构：黎曼曲面与复流形导论》是一本旨在弥合抽象代数几何与经典拓扑学之间鸿沟的专著。本书将代数几何的深刻洞察力与复分析和微分拓扑的精确工具相结合，为读者提供了一个探索复代数簇（特别是低维情形）拓扑特性的全面视角。本书的叙事结构，从经典代数曲线（黎曼曲面）的详尽分析出发，逐步推广到更高维的复流形，聚焦于如何利用拓扑不变量来区分和分类这些几何对象。 本书的基石建立在复代数几何的核心概念之上，尽管其侧重点在于几何对象的“形状”——即它们的拓扑性质，而非其底层的函数环结构。我们深入探讨了代数簇的拓扑研究中不可或缺的若干关键领域：基础群、同调群、上同调理论，以及与霍奇理论和陈示理论相关的工具。 第一部分：黎曼曲面的拓扑基础 本书的开篇部分致力于经典的黎曼曲面理论，这是研究复杂几何对象拓扑结构的绝佳起点。我们详细考察了黎曼曲面的构造，将其视为由复结构定义的拓扑流形。重点分析了黎曼曲面的基本拓扑不变量： 亏格（Genus）： 亏格作为衡量黎曼曲面拓扑复杂性的核心指标，通过其基本群和第一个 Betti 数得到了精确的代数描述。我们严格证明了代数曲线的拓扑亏格与黎曼-洛赫定理中的向量丛秩之间的深刻联系，尽管我们避免深入讨论代数函数的详细代数结构。 局部与整体： 探讨了单连通性、覆盖空间理论在黎曼曲面上的应用。例如，椭圆曲线（亏格为 1 的环面）的基本群结构 $mathbb{Z} imes mathbb{Z}$ 如何直观地反映了其拓扑形态，以及双曲结构与庞加莱圆盘之间的关系。我们运用拓扑分类定理，展示了黎曼曲面分类的完备性，这完全基于其拓扑类型。 第二部分：复流形与拓扑不变量的推广 在建立起黎曼曲面的坚实基础后，本书将讨论扩展到更高维度的复流形，这些流形可以被视为复代数簇的拓扑骨架。我们专注于研究与拓扑性质直接相关的工具： 复结构与拓扑结构： 阐明了复流形作为 $2n$ 维实流形的特殊性质。我们详细讨论了切丛的结构如何受到复结构的约束，特别是 Cauchy-Riemann 方程的拓扑含义。重点在于理解 Kählermanifold 的拓扑性质，特别是其辛结构与复结构的相互作用。 上同调理论： 这是本书的核心技术工具之一。我们介绍了 De Rham 上同调，并将其与 ChernM.R. Chern-Weil 理论中涉及的曲率形式联系起来。随后，我们将讨论 Dolbeault 上同调群 $H^{p,q}(X)$，强调其作为衡量复结构对拓扑空间扭曲程度的敏感指标。虽然我们不深入探讨凝聚层上同调的细节，但会明确指出 Dolbeault 群如何通过 Betti 数的分解揭示复流形结构对拓扑的深刻影响。 霍奇分解与 Betti 数： 霍奇理论的引入是理解高维复流形拓扑的关键。我们阐述了霍奇分解 $b_k = sum_{p+q=k} h^{p,q}$ 如何将 $k$ 阶 Betti 数分解为更精细的代数/拓扑信息。书中通过清晰的例子（如 $mathbb{P}^n$ 上的纤维化结构）来说明 Betti 数如何成为区分不同拓扑类型的强大拓扑不变量。 陈示理论的初步接触： 为了理解复结构的整体拓扑约束，本书对陈示（Chern Classes）进行了介绍。我们侧重于 Chern 示的拓扑定义，即它们如何从流形的切丛（及其复结构）中导出，并作为高阶上同调群的代表元出现。重点讨论了 Euler 示的计算，并展示了其与黎曼-洛赫定理在代数几何中的对应关系，但从纯拓扑的角度来阐述其意义。 第三部分：拓扑应用与实例分析 本书的最后部分专注于将这些拓扑工具应用于具体的几何情境，展示拓扑方法在解决几何问题中的威力： 复射影空间 $mathbb{P}^n$ 的拓扑： $mathbb{P}^n$ 是代数几何中最基本的例子。我们详细分析了其胞腔分解（CW decomposition），并基于此直接计算出其全部的 Betti 数和拓扑环结构。这部分内容清晰地展示了拓扑工具如何直接揭示看似纯代数的对象的几何形状。 纤维丛与截面： 讨论了向量丛（特别是典范丛 $K_X$）的拓扑性质。我们关注于向量丛的 Chern 示和第一陈示 $oldsymbol{c}_{mathbf{1}}(L)$ 如何通过拓扑方法（如 Whitney 楔积法则）在积空间和纤维化空间中进行计算和传播。尽管我们不对其代数截面进行深入探讨，但其拓扑存在性问题被清晰地阐述。 拓扑稳定性与变形理论的边界： 简要介绍了拓扑不变量如何对复结构的微小变形做出反应。虽然不涉及 Montel 理论或模空间结构，但我们强调，拓扑结构（如 Betti 数）通常是代数簇形变过程中的不变量，只有当拓扑结构本身发生变化时（例如，通过奇点的退化），这些不变量才会发生跳跃。 总结 《代数簇的拓扑结构》旨在为对复几何有兴趣但尚未深入研究代数几何的读者提供坚实的拓扑基础，同时也为熟悉代数结构的读者提供一个理解其几何“骨架”的独特视角。全书强调严谨的拓扑推理，侧重于通过不变量（亏格、Betti 数、Chern 示）来刻画和区分复代数对象，从而构建起一座连接抽象代数世界与直观几何形状的桥梁。本书对读者预期的背景知识是扎实的微积分和基础线性代数，并建议读者对基础拓扑学（如基本群和同调群的初步概念）有所了解。

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