Theorem Proving with the Real Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Harrison, J.

出品人:

页数:186

译者:

出版时间:

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9783540762560

丛书系列:

图书标签:

• 定理证明
• 实数
• 数学逻辑
• 形式化验证
• 集合论
• 数理逻辑
• 数学基础
• 计算机科学
• 逻辑学
• 形式系统

《实数域上的定理证明：数学的严谨性与计算的边界》 （本书内容摘要，不涉及《Theorem Proving with the Real Numbers》一书的任何具体内容或主题） 本书旨在深入探讨数学推理的哲学基础、逻辑学的形式化结构，以及计算理论在处理连续数学对象时所面临的内在挑战。我们聚焦于构建形式化的证明系统，这些系统能够可靠地推导出现在数学家日常工作中使用的定理，同时严格考察这些系统在处理涉及实数这一连续域时的局限性与可能性。 第一部分：形式化逻辑与公理系统的基石 本书的开篇部分，我们将回归数学的根源——逻辑。我们不会深入到具体的微积分证明技术，而是着重于形式系统（Formal Systems）的构建和分析。 1. 谓词逻辑的完备性与可靠性： 我们将详细阐述一阶谓词逻辑（First-Order Logic, FOL）的语法、语义以及推理规则。重点分析了哥德尔（Gödel）的完备性定理在理论层面上的意义，它确立了“可证明性”与“可满足性”之间的完美对应关系，这是所有后续形式化努力的基石。同时，我们也会探讨可靠性（Soundness）——确保所有可证明的命题在模型中都为真——在证明系统构建中的不可或缺性。 2. 公理化方法的考察： 随后，我们将考察数学理论的公理化过程。这包括对皮亚诺算术（Peano Arithmetic, PA）和策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF/ZFC）等核心公理系统的形式化表达。讨论的重点在于如何选择一组“足够强大”且“相互不矛盾”的公理，以支撑整个数学大厦。我们将分析如何将基础的算术断言转化为逻辑语言下的公式串，并使用推理规则来推导出更复杂的结论，比如分配律或结合律的逻辑推导过程。 3. 证明的结构与自然演绎： 本部分深入研究证明的实际构造。自然演绎（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）作为主要的证明工具，其结构将被细致剖析。我们关注的是如何将一个复杂的推理链分解为一系列基本步骤，每一步都严格遵循预设的规则。这里的讨论将集中在证明的“可验证性”——即如何设计一个系统，使得任何一个断言的正确性都可以被一个机械过程快速核查。 第二部分：计算复杂性与数学基础的交汇点 在奠定了纯粹逻辑框架之后，我们将视角转向计算模型，考察形式化证明与计算效率、可判定性之间的关系。 4. 可判定性问题的理论边界： 图灵机（Turing Machine）模型被用作一切可计算性的标准参照。我们将分析停机问题（Halting Problem）的不可解性，并讨论这种不可解性如何映射到数学真理的发现过程。例如，对于某些基础算术陈述，是否存在一个算法可以判定其是否为真？这引出了哥德尔第二不完备性定理的计算视角解释：一个足够强大的系统无法证明自身的无矛盾性。 5. 算法的局限性与数学直觉： 这一章节探讨了数学家依赖的“直觉”与形式化“机械化”之间的张力。在构建需要依赖非平凡构造性论证的证明时，纯粹的自动化推理往往力不从心。我们将讨论需要“创造性跳跃”的证明步骤，并对比直觉主义逻辑（Intuitionism）与经典逻辑在处理存在性陈述上的根本差异。这里着重于推理过程中的信息增量，而非具体数值的运算。 第三部分：处理连续性与无限性的形式化挑战 本部分将探讨形式系统在面对“连续性”这一概念时所遭遇的特殊结构性困难，但不涉及任何关于收敛率或特定数值分析的证明细节。 6. 拓扑与序理论的逻辑表述： 连续数学概念（如开集、闭集、极限）本质上依赖于对序关系和邻近性的精确定义。我们将分析如何将这些概念转化为逻辑语言中的量词嵌套结构。例如，描述“存在一个足够小的 $epsilon$”所需的多重量词构造，以及这种构造如何影响推理的复杂性。重点在于理解这些结构如何形式化地编码“无限接近”这一概念。 7. 稠密性与完备性的逻辑描述： 有理数域上的稠密性（Density）与实数域上的完备性（Completeness）是区分这两个数系的两个关键性质。我们将研究如何使用逻辑公理（例如，戴德金截割的某些等价表述）来形式化地捕捉实数域所拥有的这种“没有空隙”的结构。讨论会集中在这些性质在公理系统中是如何被陈述和维护的，以及它们如何使得特定形式的定理（如中间值定理的逻辑等价形式）可以被证明。 8. 非标准分析的逻辑基础： 为了对比，我们将简要概述非标准分析（Nonstandard Analysis）作为处理无穷小和无穷大的一种替代形式化方法。我们将讨论这种方法如何通过扩充一阶逻辑（引入无穷大数）来简化对连续性的处理，以及这种扩充如何影响原先逻辑系统的完备性和可判定性特性。核心关注点是逻辑框架的选择对证明风格的深远影响。 --- 本书致力于为读者提供一个坚实的逻辑和计算理论基础，用以理解现代数学推理的结构、能力和内在限制。我们通过分析基础的逻辑公理和推理规则，来审视数学家如何构建一个严谨且无懈可击的知识体系，并探讨当我们将这些系统应用于处理涉及“连续性”这一复杂概念时，形式化工具必须如何被设计和驾驭。全书的焦点在于结构、形式化和边界，而非具体的计算或数值结果。

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