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出版者:Springer Verlag

作者:Langtangen, Hans Petter

出品人:

页数:881

译者:

出版时间:

价格:$ 98.25

装帧:HRD

isbn号码:9783540434160

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《计算偏微分方程》是一本深入探讨利用计算方法求解偏微分方程（PDEs）的学术专著。本书旨在为读者提供理解和应用先进数值技术于实际科学和工程问题的坚实基础。 全书结构严谨，从数学原理出发，逐步引入各类数值方法的细节和理论依据。首先，我们将回顾偏微分方程的基本概念，包括不同类型的PDEs（如椭圆型、抛物型和双曲型方程）及其在物理、工程、生物学等众多领域的广泛应用。随后，本书将重点介绍几种最常用且强大的数值离散化技术，包括有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）和有限体积法（Finite Volume Method, FVM）。 在有限差分法部分，我们将详细阐述如何将连续的微分算子近似为代数差分算子，并讨论不同阶数的差分格式，例如中心差分、前向差分和后向差分。书中会深入分析稳定性、收敛性和精度等关键性质，并结合离散傅里叶分析（Discrete Fourier Analysis, DFA）等工具进行理论验证。我们会覆盖如何处理边界条件，以及如何构建和求解由此产生的稀疏线性方程组。 有限元法部分将着重于如何将求解域划分为小的、易于处理的单元（如三角形、四边形、四面体等），并在这些单元上使用基函数（如多项式）来近似方程的解。本书将详细讲解弱形式（Weak Formulation）的推导，以及如何通过伽辽金法（Galerkin Method）将偏微分方程转化为代数方程组。单元积分的计算、网格生成技术以及不同阶数的形函数（Shape Functions）的选择将是本部分的重点内容。 有限体积法部分则将注意力集中在守恒律的离散化上。本书将介绍如何通过在求解域上构建控制体（Control Volumes），并将方程在每个控制体内积分，从而导出离散方程。重点将放在如何处理通量（Fluxes）的计算，以及如何构造迎风格式（Upwind Schemes）等保证稳定性或精度的技术。 除了基础的离散化方法，本书还将探讨求解大型稀疏线性系统的高效算法。我们将介绍迭代求解器，如雅可比法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel Method）、逐次超松弛法（Successive Over-Relaxation, SOR）以及共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）等。对于非对称或不定问题，我们也会介绍广义最小残差法（Generalized Minimum Residual, GMRES）等迭代方法。同时，预条件子（Preconditioners）在加速迭代收敛过程中的作用也将得到深入的讨论。 本书还将涉及更高级的主题，以适应更广泛的偏微分方程及其应用。例如，我们将探讨如何处理非结构化网格（Unstructured Meshes）和适应性网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）技术，这对于求解具有复杂几何形状或需要高精度的区域至关重要。对于涉及时间演化的方程，我们将介绍各种时间积分方法，包括显式方法（如欧拉前向、龙格-库塔法）和隐式方法（如欧拉后向、Crank-Nicolson法），并分析它们的稳定性与精度权衡。 此外，本书还会触及一些现代计算偏微分方程领域的前沿话题，例如谱方法（Spectral Methods）在求解光滑解问题中的高效性，以及一些针对特定类型PDEs（如Navier-Stokes方程）的特殊数值方法。我们将强调数值模拟的验证（Verification）和确认（Validation）的重要性，介绍如何通过与解析解的比较、网格收敛性研究以及与实验数据的对比来评估计算结果的可靠性。 本书的每一章都包含丰富的理论推导、算法描述以及通过实际例子进行的阐释。通过阅读本书，读者将能够理解不同数值方法的内在联系和适用范围，掌握如何选择合适的数值方法和求解器来解决实际问题，并能独立进行偏微分方程的数值模拟。本书适合于高等教育中的研究生课程，也可作为研究人员和工程师在计算科学领域进行深入学习的参考书。

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本书凭借其对计算偏微分方程（PDE）的深入剖析，已成为该领域不可或缺的参考书。作者在介绍各种数值方法时，不仅关注其理论严谨性，更注重其在实际问题中的应用效果。例如，在探讨抛物线型PDE的时间积分时，书中详细比较了各种显式和隐式方法，分析了它们的稳定性条件、精度以及计算成本，并通过具体的例子展示了如何在实际模拟中选择最合适的方法。此外，书中对处理自由边界问题和多物理场耦合问题的数值策略也进行了探讨，这对于解决复杂工程和科学挑战具有重要的指导意义。

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这本《Computational Partial Differential Equations》以其清晰的组织结构和对复杂概念的深入讲解，为读者提供了一个全面理解数值PDE求解的框架。书中对各种方法的介绍，从有限差分法的基本思想，到有限元法在复杂几何上的应用，再到有限体积法在守恒律问题中的优势，都做了详尽的阐述。作者特别强调了在实际应用中选择合适数值方法的重要性，并提供了判断依据。例如，在处理弹性力学或电磁学问题时，书中对边界条件处理的细致讲解，以及对材料属性不连续性如何影响数值解的分析，都为实际工程应用提供了宝贵的指导。

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这是一部为计算科学和工程领域研究人员量身打造的权威指南，它提供了一个关于如何利用数值方法解决偏微分方程（PDE）的全面视角。书中对各种数值技术的介绍，不仅涵盖了其数学框架，还重点阐述了它们的实际应用和潜在挑战。例如，在讨论非结构网格上的有限元法时，书中详细介绍了单元划分、形函数构建以及如何处理复杂的几何形状，这对于模拟不规则边界或复杂物理系统的研究者来说至关重要。此外，书中对高性能计算在PDE求解中的作用也进行了探讨，包括并行计算技术和GPU加速等，这为处理大规模模拟问题提供了有益的参考。

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这本书的价值在于其对计算偏微分方程（PDE）领域的全面性和深入性。它不仅涵盖了最常用和最基础的数值方法，如有限差分法、有限元法和有限体积法，还对这些方法的理论基础、收敛性分析以及误差估计进行了详尽的阐述。对于希望深入理解PDE数值求解背后原理的读者而言，这本书提供了宝贵的理论指导。例如，在有限元法的部分，作者详细介绍了插值和逼近的理论，以及如何通过建立离散方程组来近似求解连续域上的PDE。书中对不同的边界条件处理方法，例如Dirichlet、Neumann和Robin边界条件，也进行了清晰的讲解和实例展示，这对于确保数值解的准确性和物理合理性至关重要。

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一本在学术界和工程界都享有盛誉的著作，它提供了对计算偏微分方程（PDE）这一复杂而迷人的领域进行深入探索的宝贵资源。这本书的结构设计得非常清晰，从基础概念的介绍循序渐进，直到更高级的主题，确保了不同背景的读者都能从中受益。对于那些刚刚接触数值方法求解PDE的学生而言，它提供了坚实的基础，解释了各种离散化技术的核心思想，例如有限差分法、有限元法和有限体积法，并详细阐述了它们各自的优缺点以及在不同类型PDE问题中的适用性。书中的数学推导清晰严谨，但又不至于让人望而却步，作者巧妙地平衡了理论深度与实际应用，使得复杂的概念易于理解。例如，在讨论有限元法时，作者不仅详细介绍了形函数、基函数以及弱形式的推导过程，还通过具体的例子展示了如何在实际问题中构建和应用有限元模型，这对于理解方法的物理意义至关重要。

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这是一本能够深刻启发读者对计算偏微分方程（PDE）进行批判性思考的著作。它不仅仅是提供一套数值算法，更是引导读者理解算法的起源、发展和局限性。书中对离散化误差的分析，以及如何通过网格细化、更高阶的方法或先进的数值技术来控制这些误差，都提供了宝贵的见解。例如，在讨论双曲型PDE的数值解时，书中详细介绍了熵守恒格式和通量限制器等概念，这些技术对于在数值模拟中保持物理量的守恒性和解的鲁棒性至关重要，尤其是在处理强烈的非线性效应时。

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这本书在计算偏微分方程（PDE）领域为所有希望掌握这些强大工具的学者和工程师提供了一份详尽且易于理解的路线图。作者不仅系统地介绍了各种主要的数值方法，如有限差分、有限元和有限体积法，还深入探讨了它们背后的数学理论、收敛性分析以及稳定性准则。对于读者而言，书中关于如何选择恰当的离散化方案、求解线性方程组的策略，以及如何进行网格生成和适应性控制的论述，都显得尤为实用。例如，在涉及流体动力学或传热传质问题时，书中对通量计算和源项处理的详细介绍，以及如何结合物理模型进行数值求解的示例，都能够帮助读者将理论知识转化为实际的模拟能力。

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这是一部能够引导读者深入理解计算偏微分方程（PDE）内在机制的杰出作品。它不仅仅是一本“如何做”的指南，更是一本“为何如此”的深度剖析。书中的方法论涵盖了从经典到现代的多种数值技术，并对它们的理论基础、收敛性和稳定性进行了深入探讨。对于那些希望构建自己的数值求解器或者对现有方法的局限性有更深理解的读者来说，这本书提供了宝贵的见解。例如，在介绍网格适应性技术时，书中不仅解释了自适应网格细化（AMR）的基本思想，还探讨了如何基于误差估计来动态调整网格分辨率，以在关键区域获得更高的精度，同时保持计算效率。这种对细节的关注使得本书成为了一份不可或缺的参考资料。

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对于任何致力于通过数值模拟来解决实际科学和工程问题的研究者而言，这本《Computational Partial Differential Equations》无疑是案头的必备之册。书中对各种数值方法的介绍，不仅涵盖了其数学原理，还深入探讨了它们的实现细节和在不同应用场景下的性能表现。尤其值得称赞的是，作者在解释复杂概念时，往往会辅以直观的图示和清晰的数学推导，使得即便是不太熟悉PDE数值方法的读者也能迅速掌握核心要义。例如，在讲解守恒律方程的数值求解时，书中详细介绍了黎曼求解器及其各种近似形式，如Godunov方法、Lax-Friedrichs方法等，并分析了它们在捕捉激波和接触间断方面的优劣，这对于流体力学、气体动力学等领域的模拟至关重要。

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这本书无疑是计算物理和工程领域的基石，它为理解和解决各种复杂现象提供了强大的工具集。作者在介绍数值方法时，不仅仅停留在算法的表面，而是深入挖掘了这些方法背后的数学原理和收敛性分析，这对于开发高效、鲁棒的数值模拟至关重要。例如，在讨论时间离散化方法时，除了常见的显式和隐式方法，书中还详细介绍了如Crank-Nicolson等混合方法的特点、稳定性以及如何根据问题的性质选择最优方法。此外，对于大型稀疏线性系统的求解，本书也提供了详尽的指导，涵盖了直接法（如LU分解）和迭代法（如共轭梯度法、GMRES等）的原理、实现细节以及性能考量。这些内容对于解决实际工程问题中遇到的规模庞大的PDE系统尤为关键。

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