Differential Equations and the Stokes Phenomenon pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Conference on Differential Equations and the Stokes Phenomenon (2001

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:

价格:107

装帧:HRD

isbn号码:9789812381729

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 斯托克斯现象
• 渐近分析
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 复分析
• 特殊函数
• 扰动理论
• 数学物理
• 超越函数

数学分析的深层结构：从实变函数到抽象代数 本书旨在为读者提供一套全面且深入的数学分析知识体系，重点关注现代数学分析的基石——实变函数、泛函分析的初步概念，以及连接不同数学分支的抽象代数思维。全书结构紧凑，逻辑严密，力求在严谨性与清晰性之间取得完美的平衡。 第一部分：测度论与 Lebesgue 积分 本部分是全书的理论基础，我们从严格的拓扑学视角出发，审视经典微积分的局限性，并构建起 Lebesgue 积分的宏大框架。 1. 拓扑空间与 $sigma$-代数 我们首先回顾度量空间的基本性质，随后引入更具一般性的拓扑空间概念。重点阐述了开集、闭集、紧致性和分离公理。在此基础上，我们构建了 $sigma$-代数，这是测度论的语言基础。我们将详细讨论博雷尔集（Borel sets）的构造，并证明它们构成了最小的包含所有开集的 $sigma$-代数。通过具体的例子（如完备距离空间与完备性），我们为后续的收敛性讨论奠定坚实基础。 2. 测度与测度空间 测度的概念被引入，强调其有限可加性到可数可加性的飞跃。我们详细构造了外测度（Outer Measure），并利用 Carathéodory 定理证明了 Lebesgue 测度在 $mathbb{R}^n$ 上的存在性及其唯一性。读者将深入理解“几乎处处”（almost everywhere）这一关键概念的物理和数学意义。此外，我们还将探讨其他重要的测度类型，如概率测度（作为一种特殊的有限测度）和 $delta$-函数（作为分布的极限）。 3. 可测函数与 Lebesgue 积分 可测函数是连接测度和分析的桥梁。我们精确定义了可测函数，并证明了它们对基本代数运算和极限运算的封闭性。随后，积分的概念从黎曼积分推广到 Lebesgue 积分。我们通过简单的非负函数积分（Simple functions）开始，逐步构建积分的定义。 本部分的重点在于证明 Lebesgue 积分的三大收敛定理： 单调收敛定理 (MCT)：确保了非负函数序列积分极限与极限函数积分的一致性。 Fatou 引理：提供了不等式关系，在涉及取极限时至关重要。 支配收敛定理 (DCT)：被誉为泛函分析和概率论中最强大的工具之一，我们将展示其在处理傅里叶级数和微分方程解的极限问题中的威力。 最后，我们将讨论 $L^p$ 空间的概念，作为后继泛函分析的铺垫，并证明 Minkowski 不等式。 第二部分：函数空间与泛函分析的初探 在建立起强大的 Lebesgue 积分工具后，我们将目光投向函数空间，探索无穷维向量空间中的结构和性质。 1. $L^p$ 空间 我们严格定义 $L^p(mu)$ 空间，并证明它们在 $1 le p le infty$ 范围内确实构成巴拿赫空间（Banach Spaces）。关键在于证明 Hölder 不等式，它是 $L^p$ 空间三角不等式的基础。对于 $p=2$ 的特殊情况，我们将引入内积，证明 $L^2$ 空间是希尔伯特空间（Hilbert Space），这是处理正交性和傅里叶分析的天然环境。 2. 线性泛函与有界性 我们考察从 $L^p$ 空间到 $mathbb{R}$（或 $mathbb{C}$）的线性映射，即线性泛函。重点分析了有界线性泛函的定义及其范数。在这里，我们将引出 Riesz 表示定理（针对 $L^2$ 空间），该定理揭示了每个连续线性泛函都可以通过与某个特定函数的内积来表示，这是理解对偶空间结构的核心。 3. 算子与压缩映射 本节将初步介绍线性算子 $T: X o Y$ 的概念，其中 $X$ 和 $Y$ 是函数空间。我们分析算子的有界性和连续性。随后，我们引入 Banach 压缩映射定理。该定理虽然在结构上相对简单，却是证明许多分析存在性定理（如常微分方程的 Picard 迭代解法）的基石。我们将详细推导该定理的条件和结论，并展示它如何保证迭代过程的唯一收敛解。 第三部分：基础抽象代数结构 为了理解现代数学的统一性，本部分引入了抽象代数的基本概念，重点是群论和环论的基础知识，这些概念将在后续的调和分析和代数拓扑中发挥作用。 1. 群论基础 我们定义群、子群、陪集和正规子群。重点讲解 拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推论，该定理精确地限制了有限群的子群阶数。我们还将探索同态（Homomorphism）的概念，并证明 第一同构定理（The Fundamental Theorem on Homomorphisms），该定理清晰地揭示了商群（Factor Groups）的结构。 2. 环与域 我们从集合上带有加法和乘法运算的结构——环（Ring）开始。详细讨论了交换环、单位元和零因子。在此基础上，我们引入了理想（Ideals）的概念，并类比群论，给出了环的 第二同构定理。最后，我们定义了域（Field），作为满足除法运算的特殊环，并简要讨论了有限域的构造。 3. 线性代数与向量空间（复习与深化） 虽然读者已熟悉线性代数，但本节以更抽象的视角回顾了向量空间、基和维度的概念。我们强调了线性映射的核（Kernel）和像（Image）之间的关系，并将其与前面讨论的群论中的正规子群和商群联系起来，体现出不同数学领域间的结构同构性。 全书的最终目标是为读者构建一个坚实而广阔的数学视野，使他们能够自如地在实分析的严谨性、泛函分析的应用潜力和抽象代数的结构美感之间切换自如。

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