具体描述
Introducing many innovations in content and methods, this book involves the foundations, basic concepts, and fundamental results of probability theory. Geared toward readers seeking a firm basis for study of mathematical statistics or information theory, it also covers the mathematical notions of experiments and independence. 1970 edition.
《高级统计推断与贝叶斯方法》 （Advanced Statistical Inference and Bayesian Methods） 图书简介 本书旨在为统计学、数据科学、工程学及相关定量领域的研究人员和高阶学生提供一个深入、严谨且实用的统计推断框架。它超越了传统教科书对基础概率和假设检验的初步介绍，直接聚焦于现代数据分析中最核心、最复杂的两大支柱：渐近理论驱动的频率学派推断与基于概率模型一致性的贝叶斯方法。 本书的结构设计旨在建立起清晰的理论联系，同时提供丰富的应用实例，确保读者不仅理解“如何做”，更能深刻理解“为什么这样做是合理的”。 第一部分：频率学派推断的深度探索 (Deep Dive into Frequentist Inference) 本部分将对概率论和数理统计的基础概念进行快速回顾，随后迅速过渡到推断统计学的核心理论，重点强调渐近（Asymptotic）性质在实际应用中的决定性作用。 第一章：概率论基础的严谨重申与高阶概念导入 本章首先复习了测度论基础上的概率空间定义，包括$sigma$-代数、随机变量的定义及其期望的勒贝格积分解释。随后，重点引入了大数定律（LLN）的各种形式（包括几乎必然收敛和依概率收敛）的证明思路和区别，以及中心极限定理（CLT）的更一般形式，例如Lindeberg-Feller条件下的CLT。这为后续的渐近推断奠定了坚实的理论基础。 第二章：点估计的量化与优化 本章系统性地评估了点估计量的优劣。我们详细探讨了充分性（Sufficiency）的充要条件——费舍尔-Neyman因子化定理，并引入了完备性（Completeness）的概念，将其与最小方差无偏估计（UMVUE）的唯一性联系起来。 重点内容包括： 1. 费舍尔信息量 (Fisher Information) 的推导及其与Cramér-Rao下界的紧密关系，这是衡量估计量效率的黄金标准。 2. 最大似然估计（MLE） 的构造、一致性、渐近正态性和渐近有效性的严格证明（基于Dantzig的极限理论）。 3. 矩估计（Method of Moments） 与 MLE 的性能比较。 4. 有效信息量准则：引入经验似然（Empirical Likelihood）作为一种非参数方法的强大替代方案，探讨其渐近性质。 第三章：区间估计与假设检验的统一视角 本章将置信区间和假设检验视为对同一推断问题的两种表达方式。 1. 区间估计：详细介绍了基于大样本近似（如正态近似）和基于重抽样的置信区间构建方法，包括Bootstrap区间的构造及其在非对称分布下的表现。 2. 假设检验的 Neyman-Pearson 框架：对二类错误（Type II Error）和功效函数（Power Function）进行深入分析。严格推导了UMP（Uniformly Most Powerful）检验存在的条件，并讨论了其在指数族分布中的应用。 3. 广义似然比检验（GLRT）：作为最常用的检验工具，本章详细阐述了其渐近分布——$chi^2$ 分布的由来，并将其应用于模型选择和参数约束检验。 4. 多重检验问题：引入了控制族误差率（Family-wise Error Rate, FWER） 的 Bonferroni 校正和 Holm 方法，以及控制错误发现率（False Discovery Rate, FDR） 的 Benjamini-Hochberg 程序，这是处理高维数据时的必备工具。 第二部分：贝叶斯方法与模型构建 (Bayesian Methodology and Model Construction) 本部分将统计推断的视角完全转向概率建模，强调通过概率先验信息与观测数据结合来形成完整的后验分布，从而实现推断。 第四章：贝叶斯推断的基础与优势 本章系统地介绍了贝叶斯哲学的核心思想——通过后验分布进行学习。 1. 先验信息的选择与影响：讨论了共轭先验（Conjugate Priors）的便利性，并深入分析了非信息性先验（如无信息先验、Jeffreys先验）的选择原则，以及当先验信息与数据冲突时的鲁棒性问题。 2. 后验分布的特征：探讨了后验均值、中位数和可信区间（Credible Intervals）的解释及其与频率学派置信区间的根本区别。 3. 模型评估与选择：介绍了基于后验预测检验（Posterior Predictive Checks）的模型拟合优度评估，以及使用贝叶斯因子（Bayes Factors）进行模型比较的理论框架，强调其在模型选择中的优越性。 第五章：马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法 由于大多数实际模型的后验分布无法解析求解，本章专注于实现高效采样的算法。 1. MCMC 的收敛性：探讨了马尔可夫链的遍历性（Ergodicity） 和平稳分布的理论基础，这是 MCMC 算法有效性的数学保证。 2. 核心算法详解： Metropolis-Hastings (MH) 算法：详细讨论了提议分布（Proposal Distribution）的选择对采样效率的影响，包括随机游走 MH 和独立 MH。 Gibbs 采样：在条件分布易于抽取的场景下的应用，以及其在特定模型（如高斯-马尔可夫随机场）中的威力。 3. 高级 MCMC 技术：介绍并分析了更先进的算法，如Hamiltonian Monte Carlo (HMC)，并讨论了其在处理高维、相关性强参数空间时的优势，包括动量（Momentum）的引入及其对快速混合的贡献。 4. 诊断与收敛性检验：重点介绍用于评估 MCMC 运行质量的诊断统计量，如 Gelman-Rubin 统计量 ($hat{R}$)，以及自动相关函数（Autocorrelation Function, ACF）分析。 第六章：高级模型：层次结构与非参数方法 本部分将理论应用于更复杂的现实场景，特别是需要处理多尺度或高度灵活模型的场景。 1. 层次贝叶斯模型 (Hierarchical Models)：构建多层结构，用于处理嵌套数据（如学生嵌套在班级，班级嵌套在学校）。讨论了如何利用层次结构实现信息共享（Information Pooling） 和收缩效应（Shrinkage），这在小样本或稀疏数据中表现出极强的稳健性。 2. 变分推断 (Variational Inference, VI)：作为 MCMC 的快速替代方案，本章介绍了 VI 的基本思想——将后验推断问题转化为优化问题，通过最小化 Kullback-Leibler (KL) 散度来寻找近似后验。讨论了均场（Mean-Field）近似的限制及其在现代大规模模型中的应用。 3. Dirichlet 过程与非参数贝叶斯：初步探讨了如何使用狄利克雷过程（Dirichlet Process）来推断未知类别的数量（如聚类分析），这代表了贝叶斯统计推断在模型灵活性上的前沿方向。 适用读者 本书适合于拥有扎实概率论和线性代数基础的研究生、博士后研究人员，以及需要深入理解其数据分析方法论基础的统计建模师。它要求读者具备主动推导和批判性评估统计工具的能力，是通往专业统计研究人员的必经桥梁。
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