具体描述
《微积分：多变量视角》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的多变量微积分学习体验。我们不再局限于一维空间中的曲线和面积，而是将微积分的强大工具扩展到更高维度，探索三维乃至更高维空间中的函数、变化率、累积量以及它们的几何意义。本书的结构清晰，循序渐进，力求在严谨的数学基础上，以直观的几何解释和丰富的应用实例，帮助读者构建起对多变量微积分概念的深刻理解。 第一部分：从向量到空间几何 本部分是进入多变量微积分世界的基石。我们首先回顾和深化向量代数的知识，这对于理解多维空间中的点、线和面至关重要。 第一章：向量与空间坐标系 本章详细介绍了二维和三维笛卡尔坐标系，并引入了向量的概念。我们将探讨向量的加法、标量乘法、点积（内积）以及叉积（外积）。点积帮助我们理解向量之间的夹角和投影，是后续讨论函数梯度的基础。叉积则在三维空间中引入了垂直于两个给定向量的新向量的概念，这在计算平面法向量和力矩时具有关键作用。此外，我们还将研究空间中的直线和平面的方程表示，为理解三维图形奠定基础。 第二章：坐标系变换与空间曲线 为了更灵活地描述空间中的几何对象，本章会深入讲解柱坐标系和球坐标系，并提供它们与笛卡尔坐标系之间的精确转换公式。通过这些不同的视角，读者将能更有效地处理涉及旋转对称性或球对称性的问题。随后，我们将转向空间曲线。我们将使用参数方程来描述曲线的运动轨迹，并学习如何计算空间曲线的弧长、切向量和曲率。曲率的概念量化了曲线弯曲的程度，是理解物体运动轨迹变化的关键指标。 第二部分：多变量函数与偏导数 多变量微积分的核心在于处理那些依赖于多个变量的函数。本部分将聚焦于如何定义、可视化和计算这些函数的导数。 第三章：多变量函数与偏导数 本章首先介绍了多元函数的定义域、值域，并探讨了可视化这些函数（例如，使用等高线图或三维曲面图）。随后，我们引入偏导数的概念，它衡量了函数沿着特定坐标轴方向的变化率。我们将详细推导偏导数的计算方法，并探讨偏导数在确定函数局部极值中的作用。为了更全面地描述函数在任意方向上的变化，我们引入了方向导数的概念，并将其与梯度联系起来。 第四章：梯度、链式法则与泰勒定理 梯度向量是多变量微积分中最核心的概念之一。本章将深入探讨梯度向量的性质，特别是它指向函数增加最快的方向，并且垂直于等高线或等值面。我们将详细阐述多变量链式法则，它是在处理复合函数以及隐函数求导时不可或缺的工具。最后，我们将推广一元函数的泰勒定理到多元函数，发展出多元函数的二阶偏导数、Hessian 矩阵，这为我们后续的极值分析提供了精确的工具。 第三部分：多元函数的优化与极值 优化问题在工程、经济和科学中无处不在。本部分专注于如何利用导数工具来寻找多元函数的最大值和最小值。 第五章：多元函数的极值与鞍点 本章将利用二阶偏导数测试（Hessian 矩阵的行列式）来区分局部极大值、局部极小值和鞍点。我们将系统地介绍寻找多元函数在给定闭区域内绝对极值的方法，即比较临界点的值与边界上的极值。 第六章：拉格朗日乘数法 当优化问题存在约束条件时，标准的方法往往难以适用。本章将详细介绍拉格朗日乘数法，这是一种优雅且强大的技术，用于求解带等式约束的优化问题。我们将从几何直观出发解释拉格朗日乘数法的原理——即在最优解处，目标函数的梯度必须与约束条件的梯度平行——并通过大量的实例展示其应用，例如在经济学中的效用最大化问题。 第四部分：多重积分 微积分的积分部分在多变量环境中扩展为计算高维空间中的“体积”或“质量”。 第七章：二重积分 本章将二重积分的概念从黎曼和引入，并讨论其在计算平面区域上的面积和三维曲面下的体积中的应用。我们将详细讲解直角坐标系下二重积分的计算，包括如何确定积分的上下限。更重要的是，本章会介绍如何使用 Fubini 定理来交换二重积分的积分次序，这是解决复杂积分问题的关键技巧。 第八章：极坐标与坐标变换 为了简化涉及圆形或扇形区域的积分，本章将介绍如何在二重积分中使用极坐标。我们将推导极坐标变换下的面积微元 $dA = r , dr , d heta$。随后，我们将把坐标变换的思想推广到一般情况，介绍雅可比行列式（Jacobian）在多重积分中的作用，这是连接不同坐标系下面积或体积微元的桥梁，是实现复杂积分计算标准化的核心工具。 第九章：三重积分 本章将概念扩展到三维空间，介绍三重积分及其在计算三维区域上的质量、质心和转动惯量中的应用。我们将探讨在笛卡尔坐标系下进行三重积分，并重点介绍在柱坐标系和球坐标系下进行三重积分的技巧，这对于处理具有圆柱或球对称性的三维问题至关重要。 第五部分：微积分在空间中的应用 本部分将微积分的工具应用于更复杂的几何和物理问题，特别是涉及线、面上的累积量。 第十章：线积分 线积分（或路径积分）是计算沿着特定路径的物理量（如功、电场线上的势能）的关键。本章将定义标量场和向量场上的线积分。我们将详细区分两种线积分的类型，并深入探讨保守向量场和势函数（Potential Function）的概念。当向量场是保守场时，我们能够利用微积分基本定理的推广形式——格林公式的预备知识——来简化计算。 第十一章：格林公式与曲面积分基础 本章将引入格林公式，这是连接平面区域上的二重积分与该区域边界上的线积分的强大工具。我们将从几何和代数的角度剖析格林公式的意义，并展示它在简化封闭路径上的线积分计算中的威力。同时，本章也将为下一章更复杂的曲面积分做铺垫，介绍曲面的参数化表示和曲面上的面积微元。 第十二章：曲面积分与散度定理 本章将线积分的概念提升到三维空间中的曲面。我们将定义标量场和向量场在曲面上的积分，并重点关注向量场上的曲面积分（通量）。通量是衡量向量场穿过某一曲面的“流量”的概念。最后，我们将介绍高斯散度定理（Divergence Theorem），这是多重积分和向量场理论的顶峰之一，它将曲面上的通量与曲面所包围的三维区域上的三重积分联系起来，是理解流体力学和电磁学中基本定律的基石。 本书特色： 几何优先： 每一个新的代数概念都伴随着详尽的几何解释和可视化图形，强调“为什么”而非仅仅是“如何计算”。 严谨与直观并重： 保持了数学推导的严谨性，同时通过直观的类比和物理意义的阐述，降低了学习曲线的陡峭程度。 应用驱动： 大量精选的工程、物理和经济学案例，展示了多变量微积分在解决实际问题中的巨大潜力。 逐步深入： 知识点组织逻辑清晰，确保读者在掌握基础概念后，能够稳步过渡到更高级的主题，如格林公式和散度定理。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有