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出版者:Springer Verlag

作者:Childress, Nancy

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 56.44

装帧:Pap

isbn号码:9780387724898

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数论
• 代数数论
• 类域论
• 伽罗瓦理论
• 代数
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 域论
• 算术几何

好的，下面为您创作一份关于《Class Field Theory》的图书简介，这份简介将详细介绍该领域的核心内容、历史背景、重要定理及其在数学中的地位，但不会提及任何关于您提出请求或生成过程的细节。 --- 《代数数论的基石：类域论导览》 图书简介 第一部分：概览与核心主题 《代数数论的基石：类域论导览》是一部系统性、深入探讨代数数论核心领域——类域论（Class Field Theory）的专著。本书旨在为高等代数、代数几何以及数论领域的学生、研究人员提供一个全面而清晰的框架，用以理解这一深刻而富有挑战性的数学分支。类域论，作为20世纪数学最伟大的成就之一，成功地将伽罗瓦理论的深刻结构与代数数域的算术细节联系起来，并为解决费马大定理等经典问题提供了强大的理论工具。 本书从基础概念出发，逐步构建起类域论的理论大厦。我们首先回顾了代数数域、环论、理想论以及局部域（如$p$-adic域）的基础知识，为理解全局理论打下坚实基础。随后，本书的核心部分聚焦于局部类域论（Local Class Field Theory）。局部理论主要研究完备域上的伽罗瓦表示，其核心是阿廷局部伽罗瓦群（Artin Local Galois Group）与非阿基米德（$p$-adic）数域上的乘法群之间的局部阿廷同构（Local Artin Map）。我们将详细阐述这一同构的构造、性质及其在描述 $K/mathbb{Q}_p$ 扩张的伽罗瓦群结构中的关键作用。书中对$p$-adic指数、单位群结构以及高次上正规扩张的结构进行了深入的剖析。 第二部分：全局理论的构建与核心成果 本书的重点转移到全局类域论（Global Class Field Theory）。全局理论旨在连接数域上的代数结构与具有有限阿贝尔扩张的数域的算术性质。这部分内容围绕类群（Class Group）和理想群（Idel Group）展开。 我们首先引入理想群的概念，这是对数域的分数理想群进行拓扑和代数结构强化的工具。书中详细阐述了理想群与数域上分数环（Ring of Integers）的理想类群之间的关系。核心挑战在于如何通过代数结构来“控制”或“描述”由扩张引起的理想的行为。 本书随后深入讲解了类域论的核心目标：描述所有在给定数域 $K$ 上生成阿贝尔扩张（即伽罗瓦群是阿贝尔群的扩张）的域 $L$ 的结构。这一目标的实现依赖于两个宏伟的定理： 1. 存在定理（Existence Theorem）：证明了对于任何代数数域上的理想群的商群，都存在一个对应的阿贝尔扩张，使得理想群与该扩张的伽罗瓦群之间存在一个特定的同构。 2. 主定理（Main Theorem of Class Field Theory）：这正是类域论的精髓所在。它建立了数域 $K$ 上的理想群（或其拓扑版本——理想群（Idel Group））与 $K$ 的所有阿贝尔扩张的伽罗瓦群之间的一个规范的、规范化的同构，即阿廷正则同构（Artin Canonical Isomorphism）。该同构通过阿廷正则映射（Artin Reciprocity Map）实现，它将一个理想（或理想群的元素）与一个伽罗瓦群的元素联系起来。我们细致地分析了这一映射的构造、其与局部理论的兼容性，以及它如何统一了早期数学家关于二次剩余、高次剩余等问题的研究。 第三部分：重要构造、工具与应用 为了严谨地证明主定理，本书专门开辟章节讨论了证明过程中所依赖的关键工具和构造： 1. 互易律（Reciprocity Laws）：从高斯二次互易律出发，本书追溯了互易律的推广历史，并展示了类域论如何为这些看似孤立的数论现象提供了一个统一的框架。 2. 阿廷$L$-函数（Artin $L$-functions）：虽然类域论主要基于代数结构，但$L$-函数提供了重要的分析工具。书中介绍了如何利用这些函数来理解伽罗瓦表示的性质，尤其是在证明存在定理中扮演的角色。 3. 代数群与模形式的联系：本书的后半部分将理论推广到更现代的视角，探讨了模块化（Modularization）的概念。通过引入伊瓦萨瓦理论（Iwasawa Theory）的初步思想，我们将读者的视野扩展到如何利用更复杂的分析工具来研究无限次扩张。同时，我们探讨了类域论在郎兰兹纲领（Langlands Program）中的先驱地位，展示了它如何为后来的几何、表示论和数论的交叉研究奠定了基础。 第四部分：理论意义与未来展望 《代数数论的基石：类域论导览》的最终目标是让读者领悟类域论在数学中的根本性地位。它不仅解决了19世纪末遗留的数论难题，更提供了一种“算术对象如何决定伽罗瓦结构”的深刻洞察。本书强调了“代数化”的思想——即将算术上的“猜想”（如互易律）转化为清晰的代数结构之间的映射（阿廷同构）。 本书的读者将掌握理解“莫德尔猜想”（Mordell Conjecture）、“费马大定理”（在Wiles的工作之前，类域论是研究该问题的最有力工具之一）以及现代代数几何中的算术等问题的必要理论储备。 本书结构严谨，论证详尽，力求在保持数学严谨性的同时，以清晰的逻辑引导读者穿越类域论的复杂迷宫。通过对局部理论和全局理论的层层递进，本书旨在使读者不仅学会“如何使用”类域论，更能深刻理解“为什么”它如此美妙和强大。

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