具体描述
Anyone trying to learn algebra and trigonometry may think they understand a concept but then are unable to apply that understanding when they attempt to complete exercises. This innovative book helps them overcome common barriers to learning the concepts and builds confidence in their ability to do mathematics. The second edition presents new sections on modeling at the end of each chapter as well as new material on Limits and Early Functions. Numerous examples are also included that provide more detailed annotations using everyday language. This approach gives them the skills to understand and apply algebra and trigonometry.
《线性代数：理论与应用》 本书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入的线性代数学习体验，重点关注理论的严谨性与实际应用的紧密结合。我们相信，线性代数不仅是数学分析和高等代数的重要基石，更是理解现代科学、工程、数据科学和经济学等领域复杂系统的核心工具。 全书内容组织严谨，从基础概念出发，逐步深入到高级主题，确保读者能够构建起坚实而完整的知识体系。我们避免了仅仅罗列定义和定理的枯燥叙述，而是通过大量的几何直观解释、富有启发性的例题和贴近现实世界的应用案例，帮助读者真正掌握线性代数的精髓。 第一部分：基础与向量空间 (Foundations and Vector Spaces) 本部分奠定了整个课程的理论基础。我们从最基本的数域（实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）开始，清晰界定代数运算的结构。 第1章：基础代数结构与数域 详细介绍域（Field）的定义及其重要性，特别是 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 在数学建模中的角色。 复数的几何表示（复平面）及其在旋转和线性变换中的初步应用。 矩阵的基本运算：加法、数乘、矩阵乘法。我们强调矩阵乘法的非交换性及其几何意义——复合变换。 矩阵的转置、迹（Trace）以及特殊矩阵（对称、反对称、正交矩阵）的性质。 第2章：线性方程组与高斯消元法 线性方程组的构成与解的结构分析。 高斯消元法（Gaussian Elimination）的系统性介绍，包括行阶梯形、简化行阶梯形（RREF）的算法步骤和唯一性。 矩阵的秩（Rank）概念的引入，并将其与方程组解的存在性和唯一性联系起来。 LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）作为高效解算方法的探讨。 第3章：向量空间的核心概念 向量空间（Vector Space）的严格定义与基本性质。我们通过集合论的视角，确保读者理解为何特定集合（如多项式空间 $P_n$、函数空间 $C[a, b]$）可以构成向量空间。 子空间（Subspace）的概念，重点分析子空间的判定定理。 线性组合、线性相关性与线性无关性：这是理解基和维度的前提。我们通过反证法和秩的性质，深入探讨线性无关的本质。 生成集（Span）与子空间的构造。 第4章：基、维度与坐标变换 基（Basis）的定义和构造，以及如何从生成集中提取基。 维度（Dimension）定理的证明与应用。 坐标系（Coordinates）的概念，以及从一个基到另一个基的坐标变换矩阵的推导。这部分为后续的算子分析打下基础。 四大基本子空间：列空间（Column Space）、零空间（Null Space）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space），以及它们之间的正交性关系（弗雷德里克斯定理的初步介绍）。 第二部分：线性变换与特征分析 (Linear Transformations and Spectral Analysis) 本部分将视角从抽象的向量空间转向描述空间之间映射的线性变换，并引入特征值理论，这是应用数学中最具威力的工具之一。 第5章：线性变换 线性变换（Linear Transformation）的定义、核（Kernel）和像（Image）的概念。 矩阵与线性变换的双重身份：变换的表示。 同构（Isomorphism）的概念，以及为什么在有限维空间中，所有相同维度的向量空间在代数结构上是等价的。 变换的复合与逆变换的矩阵表示。 第6章：行列式 (Determinants) 行列式的定义：通过置换和Leibniz公式，强调其多线性、反对称的性质。 计算方法：利用行基本变换的性质计算行列式。 行列式的几何意义：体积（或面积）的缩放因子。 Cramer's Rule（克拉默法则）作为理论工具的应用，而非首选的数值解法。 第7章：特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors) 特征值问题 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 的提出与几何解释：变换下方向不变的向量。 特征多项式的计算与特征值的确定。 代数重数与几何重数的概念区分与关系。 对角化（Diagonalization）的充分必要条件：线性无关的特征向量集合。 第8章：相似性与矩阵的对角化 相似矩阵（Similar Matrices）的定义及其在不同基下表示同一线性变换的本质。 若一个 $n imes n$ 矩阵可对角化，则其特征向量构成 $mathbb{R}^n$ 的一组基。 Jordan 标准型的引入（作为对角化失败情况的补充），用于处理非对角化矩阵（如涉及复特征值或重根但几何重数不足时）。 幂次迭代法（Power Iteration）在求解主导特征值中的应用。 第三部分：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本部分扩展了向量空间的概念，引入了几何结构——长度和角度，这是傅里叶分析、最小二乘法和优化理论的基础。 第9章：内积、长度与正交性 内积（Inner Product）的定义及其公理。标准内积（欧几里得点积）的推广。 由内积导出的长度（范数）和角度的概念。 正交性（Orthogonality）：两个向量或子空间垂直的代数表达。 正交补（Orthogonal Complement）的概念及其与四大基本子空间的关系。 第10章：正交投影与最小二乘法 正交投影定理：向量到子空间的最近点。 Gram-Schmidt 正交化过程：如何从任意基构造一组正交基（$mathbf{q}_1, mathbf{q}_2, ldots$）。 QR 分解：利用 Gram-Schmidt 过程，将任意矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的乘积，是数值计算中的核心工具。 最小二乘解（Least Squares Solutions）：解决超定线性方程组（Overdetermined Systems）的理论与几何解释。 第11章：对称矩阵与二次型 对称矩阵（Symmetric Matrices）的特殊性质：所有特征值均为实数，且特征向量相互正交。 谱定理（Spectral Theorem）的阐述与应用。 二次型（Quadratic Forms） $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的表示。 正定、半正定性的判别：通过特征值或主子式（Schur 稳定判据）。 主轴定理（Principal Axes Theorem）：通过正交变换化二次型为只含平方项的形式（在几何上，这对应于旋转坐标系以消除交叉项）。 第四部分：应用与进阶主题 (Applications and Advanced Topics) 本部分展示线性代数在现代科学中的实际威力。 第12章：矩阵分解在数据科学中的应用 奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)：作为最强大的矩阵分解工具，它适用于任何矩阵（不要求方阵或对称性）。 SVD 的几何解释：对单位圆进行拉伸、旋转、再旋转。 SVD 在主成分分析 (PCA) 中的核心作用：降维与数据压缩。 低秩近似（Low-Rank Approximation）的意义。 第13章：动态系统的线性模型 差分方程与马尔可夫链：利用特征值分析描述离散时间系统随时间的演化。 稳定性和极限分布的判断（基于特征值模长）。 微分方程组：$mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解析解法，通过对角化或 Jordan 型来求解系统的瞬态行为。 第14章：线性代数在优化中的作用 牛顿法的迭代公式中涉及Hessian矩阵的逆（或求解线性系统）。 拉格朗日乘数法在约束优化中的几何意义（梯度与约束法向量平行）。 全书的叙述风格力求清晰、逻辑递进，每章均配有详尽的推导过程和丰富的图示辅助理解。我们希望读者在合上本书时，不仅能熟练运用高斯消元法或计算特征值，更能从根本上理解向量空间、变换和正交性如何共同构成了现代定量分析的语言框架。
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