Qualitative Theory of Planar Differential Systems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Freddy Dumortier , Jaume Llibre , Joan C. Artés

出品人:

页数:298

译者:

出版时间:2006-1

价格:49.95

装帧:平装

isbn号码:9783540328933

丛书系列:

图书标签:

微分方程
常微分方程
动力系统
非线性系统
定性理论
平面动力系统
相平面分析
拓扑动力学
数学分析
应用数学

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具体描述

拟平面微分系统定性理论的深入探索与新视角书名：拟平面微分系统定性理论（Qualitative Theory of Planar Differential Systems）简介：本书旨在为读者提供一个关于二维（平面）微分系统定性理论的全面、深入且现代的视角。我们聚焦于分析系统的长期行为、相图结构、鞍点、结点、极限环的存在性与稳定性，以及平面系统特有的复杂动力学现象。本书的叙述风格严谨、逻辑清晰，侧重于理论的深刻理解与几何直观的培养，避免了对特定计算工具（如计算机代数系统）的过度依赖，而是强调分析方法的本质。第一部分：基础与分析工具的重塑本书伊始，首先对常微分方程（ODE）的基本解的存在性、唯一性以及依赖性进行了详尽的回顾，但很快将重点转移至二维系统的特有结构。我们强调奇点分析作为理解系统动力学的核心手段。不同于高维系统复杂的拓扑结构，平面系统的奇点分类——鞍点、结点（稳定与不稳定）、中心、以及退化奇点——被系统地引入并进行严格的几何论证。特别地，我们花费大量篇幅探讨了柯西-科瓦列夫斯基定理在平面系统分析中的应用，并引入了李雅普诺夫函数的概念作为判别稳定性与极限环存在性的基础工具。书中的理论构建注重严密性，确保读者不仅知道“是什么”，更理解“为什么”。第二部分：非线性系统的定性几何本书的核心挑战在于解析非线性系统。我们系统地梳理了平面系统中相轨线的几何性质。这包括了相平面上轨线如何汇聚、分离、或形成闭合回路（极限环）。极限环理论是本书的重点之一。我们深入研究了庞加莱-本迪克森定理（Poincaré-Bendixson Theorem）及其在判断极限环存在性上的强大效力。对于那些无法直接应用庞加莱-本迪克森定理的系统，我们引入了Dulac判别法，探讨了其局限性与应用场景。书中包含了对极限环的孤立性（如霍普夫分岔的起点）的深入分析，并结合了拓扑学的思想来理解轨线如何被拓扑等价地映射。分岔理论在平面系统中体现出其独特的几何美感。我们聚焦于一参数平面系统的分岔现象，详细分析了鞍-结点分岔、超临界与次临界霍普夫分岔在二维相平面上的具体表现。我们通过分析平衡点的特征值随参数变化的轨迹，清晰地展示了系统拓扑结构的“折叠”与“重组”过程。第三部分：全局行为与拓扑结构定性理论的更高层次在于对系统的全局行为的理解。本书将相平面分解的概念提升到关键地位，探讨了如何通过一系列“轨道”或“环面”将整个相平面划分为若干具有特定动力学特性的区域。不变量流形的概念被应用于平面系统的分析，尽管平面系统结构相对简单，但理解轨道如何被有限的结构（如无穷远处的奇点，或闭合轨线）所限制，对于构建完整的相图至关重要。我们探讨了互补轨线（Separatrices）的结构，它们是连接不同奇点类型、划分稳定和不稳定区域的关键几何要素。此外，本书对无穷远处的动力学进行了专门的讨论。通过庞加莱球映射（Poincaré Compactification），我们将平面系统提升到球面，从而能够系统地分析在无穷远处发生的情况，特别是周期性轨道如何被映射到球面上，这为理解全局稳定性提供了强有力的数学框架。第四部分：应用与扩展的桥梁为了体现理论的实际价值，本书在最后部分探讨了如何将这些定性分析工具应用于具体的物理和工程模型中，例如捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra系统）的修正形式、振动系统等。这些例子旨在说明定性分析如何揭示系统的本质特性，而无需依赖精确的数值积分。本书的最终目标是培养读者一种几何直觉，使他们能够面对一个给定的拟平面微分系统，即便无法求出解析解，也能通过系统的分析步骤，准确地描绘出其相图的主要特征，预判其长期演化路径。本书适合于数学、物理、工程领域研究生以及需要深入理解非线性动力学基础的专业人士。书中的例题与习题均经过精心设计，旨在巩固分析方法的应用能力，而非单纯的计算能力。