Generalized Inverse Operators and Fredholm Boundary-Value Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brill Academic Pub

作者:Samoilenko, A. M.

出品人:

页数:317

译者:

出版时间:

价格:$ 381.38

装帧:HRD

isbn号码:9789067644075

丛书系列:

图书标签:

• 泛函分析
• Fredholm理论
• 逆算子
• 边界值问题
• 偏微分方程
• 算子方程
• 线性代数
• 数值分析
• 应用数学
• 数学分析

泛函分析中的拓扑方法与非线性算子理论 本书深入探讨了泛函分析领域中一些最基本且极具挑战性的课题，特别是侧重于拓扑学方法在解决无限维空间中的算子方程问题上的应用，以及非线性算子理论的最新进展。全书结构严谨，从基础的函数空间理论出发，逐步构建起解决复杂微分和积分方程的理论框架。 第一部分：函数空间与拓扑结构 本部分奠定了分析工具的基础。我们首先复习了巴拿赫空间和希尔伯特空间的核心性质，随后将重点转向更一般的拓扑向量空间，特别是涉及局部凸性的研究。详细阐述了拓扑度理论在确定解的存在性方面的关键作用。 拓扑度理论的推广与应用： 经典的上度理论（Degree Theory）通常在有限维空间或紧算子框架下有效。本书对这一理论进行了必要的拓扑推广，使其能够应用于更广泛的非紧算子，特别是满足某些特定单调性或有界性条件的算子。我们引入了山路定理（Mountain Pass Theorem）和形变引理（Deformation Lemma）的严格推导，这些工具是利用变分方法处理非线性边界值问题（BVP）的基石。特别关注了在Sobolev空间中定义的双曲型和椭圆型算子的拓扑性质分析。 紧性与半紧性： 在处理无限维问题时，紧性（Compactness）是一个至关重要的假设。本书系统地分析了各种函数空间中的紧性判据，例如Riesz有界集定理的推广。随后，我们深入研究了半紧算子（Semiconctract Operators）的性质，并展示了如何在没有完全紧性假设的情况下，通过引入近似紧的结构或利用更弱的收敛性（如弱收敛），来保留必要的拓扑信息，从而保证解的存在性。这部分内容特别强调了使用Schauder不动点定理来处理关于微分算子的非线性问题。 第二部分：变分原理与能量泛函 本部分将抽象的拓扑工具与具体的物理和工程问题联系起来，核心在于构造和分析适当的能量泛函。 极值问题与关键点理论： 针对形如 $Au = f$ 的非线性方程，我们探讨了如何将其转化为寻找泛函 $J(u)$ 的临界点问题。重点讨论了庞加莱-武法夫定理（Poincaré-Waffal Theorem）在鞍点结构（Saddle Point Structure）下的应用，该定理在处理涉及边界条件的分岔问题时至关重要。我们详细分析了由Dirichlet边界条件导出的二次型泛函的几何结构，并引入了山谷法（Minimax Methods）来寻找非零能级的临界点。 微分离散法与逼近： 理论研究必须与数值实现相结合。本部分讨论了如何利用有限元方法（FEM）和有限差分方法（FDM）对连续的变分问题进行离散化。分析的重点在于：在离散化过程中，如何保证关键的拓扑性质（如度数、连通性）得以保持。我们严格证明了在适当的网格细化下，离散解序列收敛到原问题的解，并分析了收敛的速度和误差估计。 第三部分：非线性算子理论的进阶主题 这一部分将视野扩展到比线性或简单单调算子更为复杂的领域。 单调算子理论： 系统阐述了布朗-赫斯不动点定理（Browder-Hess Fixed Point Theorem）及其在强单调和弱单调算子上的推广。这对于处理诸如Stokes方程或非牛顿流体流动等问题中的粘性项至关重要。我们深入分析了Hamel基下连续线性泛函的性质，并将其应用于具有非光滑边界条件的非线性椭圆方程。 分岔理论与奇异性分析： 当非线性方程的参数发生变化时，解的结构可能会发生突变，即发生分岔。本部分侧重于Lopatinsky-Segal分岔理论的应用。我们详细分析了特征值附近的线性化稳定性，并使用Lyapunov-Schmidt降阶方法将无限维问题降阶到有限维的中心流形上，从而对分岔点附近的解簇进行局部分析。特别是，我们关注了非光滑非线性项（如$|u|^p$中的$p$）对分岔类型的影响。 四、非局部型算子与积分方程的耦合 最后，本书探讨了那些其算子依赖于整个定义域信息的非局部算子。 抽象积分方程： 对Volterra和Fredholm积分方程进行了系统的拓扑分析。这包括利用Banach空间上的算子谱理论来分析这些方程的解的性质。特别关注了涉及分数阶导数的非局部微分方程，这些方程通常需要用诸如Mellin变换的工具进行处理，而非标准的傅里叶分析。 应用案例： 选取了涉及非线性边界条件的热传导问题和某些生物系统中的扩散-反应模型作为案例研究。在这些案例中，我们展示了如何结合拓扑度理论来证明解的唯一性或多重解的存在性，特别是当系统表现出迟滞效应（Hysteresis）时，如何使用更先进的拓扑工具来处理解的空间结构。 本书旨在为研究生和研究人员提供一个严谨而全面的框架，用以分析和解决当代数学物理和应用数学中遇到的复杂的无限维算子方程。全书对基础概念的阐述详尽，对前沿理论的讨论深入，旨在培养读者运用拓扑思维解决实际问题的能力。

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