Representations of Finite and Lie Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Thomas, C. B.

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:

价格:$ 88.14

装帧:HRD

isbn号码:9781860944826

丛书系列:

图书标签:

数学
群论
表示论
有限群
李群
代数拓扑
抽象代数
数学物理
高等数学
拓扑群

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具体描述

This book provides an introduction to representations of both finite and compact groups. The proofs of the basic results are given for the finite case, but are so phrased as to hold without change for compact topological groups with an invariant integral replacing the sum over the group elements as an averaging tool. Among the topics covered are the relation between representations and characters, the construction of irreducible representations, induced representations and Frobenius reciprocity. Special emphasis is given to exterior powers, with the symmetric group Sn as an illustrative example. The book concludes with a chapter comparing the representations of the finite group SL2(Fp) and the non-compact Lie group SL2(R).

经典代数拓扑的严谨探索：群论的几何与结构基础一部深入剖析群表示论核心概念与应用，为研究生及高级研究人员量身定制的权威著作。本书《经典代数拓扑的严谨探索：群论的几何与结构基础》致力于为读者构建一个全面而深入的框架，用以理解有限群和李群在几何、拓扑以及分析学中的基本作用。它摒弃了仅关注表示理论计算技巧的肤浅处理，转而聚焦于群论的内在结构、拓扑背景，以及这些结构如何决定了其可积化（Integrable）与不可约（Irreducible）表示的性质。全书分为六个逻辑递进的宏大篇章，从基础概念的重建出发，逐步攀升至现代表示论的前沿领域。 --- 第一部分：群的拓扑与代数基础重构 (Foundations in Topological and Algebraic Groups) 本部分旨在为后续的表示论讨论奠定坚实的分析和拓扑基础。我们首先回顾了拓扑群的定义，强调了其作为一类既具有代数结构（群运算）又具有拓扑结构（连续性）的对象的特殊性。重点章节深入探讨了紧致群的性质，特别是紧致李群的局部欧几里得性，并引入了均匀连续性和哈尔测度 (Haar Measure) 的概念。读者将详细了解哈尔测度在紧致群上的唯一性和正定性，这对于后续引入积分和泛函分析工具至关重要。此外，本部分还对流形上的光滑结构与李群结构进行了细致的辨析，为理解李代数的构造提供了必要的几何直觉。我们清晰地区分了离散群、局部紧群与李群的内在区别，为后续理论的适用范围划定界限。 --- 第二部分：李代数与无穷小生成元 (Lie Algebras and the Infinitesimal Generators) 本部分是连接群论与微分几何的桥梁。我们引入了李代数作为李群的“切空间”或“无穷小结构”。李代数的定义——一个向量空间配备一个双线性、反对称的李括号 $[X, Y]$——被置于微分算子和无穷小变换的背景下进行阐释。关键内容包括：伴随表示 (Adjoint Representation) 的构造，它展示了群如何作用于其自身的李代数结构上。我们详细推导了指数映射 (Exponential Map) $exp: mathfrak{g} o G$，并证明了在局部，指数映射将李代数的邻域映射到群的邻域，从而确立了李代数作为群局部结构的描述能力。本部分对直合和半直合（Semi-direct Products）在李代数层面的分解进行了深入分析，这些代数结构直接反映了对应群的分解特性。 --- 第三部分：酉表示的理论框架 (The Framework of Unitary Representations) 本部分是本书的核心，严格构建了酉表示的理论。酉表示被定义为从群到酉算子群 $mathcal{U}(mathcal{H})$ 的同态表示，其中 $mathcal{H}$ 是一个希尔伯特空间。强调酉性的目的是为了能够引入内积和拓扑收敛性，这是泛函分析工具得以应用的先决条件。详细阐述了可约表示与不可约表示 (Irreducible Representations) 的定义。对于紧致群，我们给出了马斯克 (Maschke) 定理的清晰证明及其对有限群和紧致李群的普适性，表明任意酉表示都可以分解为不可约酉表示的直和。我们还首次引入了表记理论 (Character Theory) 的初步概念，将表示的性质通过其特征（迹）来刻画。特别是，对于有限群，特征理论的完备正交关系被严格证明，这构成了求解表示分解的代数工具。 --- 第四部分：结构理论与根空间分解 (Structural Theory and Root Space Decomposition) 本部分将分析的焦点从一般李群转向了半单李群 (Semisimple Lie Groups)，因为它们拥有最丰富的表示理论结构。这需要引入Cartan子代数的概念。首先，我们介绍了Cartan子代数 $mathfrak{h}$ 的概念，它是李代数中极大阿贝尔子代数。接着，通过根空间分解，将整个李代数 $mathfrak{g}$ 分解为 $mathfrak{g} = mathfrak{h} oplus igoplus_{alpha in Phi} mathfrak{g}_{alpha}$，其中 $Phi$ 是根系 (Root System)。读者将学习如何利用根向量和李括号的关系来系统地构造李代数。关键内容包括：Weyl单位化的概念，以及如何利用它来定义根简正性。本部分花费大量篇幅详述了根系的几何性质（如笛卡尔坐标下的简单根的定义），以及根系分类（如 $A_n, B_n, C_n, D_n, G_2, F_4, E_{6,7,8}$）的构造过程，这些几何结构直接决定了李群的内部结构。 --- 第五部分：Cartan 理论与权空间理论 (Cartan Theory and Weight Space Analysis) 在根空间分解的基础上，本部分聚焦于如何利用权 (Weights) 来描述不可约表示。对于一个李群的表示 $(pi, mathcal{H})$，其李代数 $mathfrak{g}$ 上的作用 $mathrm{d}pi$ 在 $mathfrak{h}$ 上的限制就是权。我们详细阐述了权空间的分解：任何有限维不可约表示都分解为权空间的直和，每个权空间对应于一个权。本书特别强调了最高权理论 (Highest Weight Theory)，即每一个有限维不可约表示都由一个唯一的“最高权” $lambda$ 完全决定。最高权 $lambda$ 必须是正的支配权 (Positive Dominant Weight)，这一条件通过根系上的非负整数线性组合来精确描述。本部分还包括对Weyl维数公式 (Weyl Dimension Formula) 的推导，它提供了一种计算特定最高权表示维度的纯粹代数方法，极大简化了表示的计算。 --- 第六部分：微分算子与几何意义 (Differential Operators and Geometric Significance) 最后一部分将抽象的群论表示提升到微分几何和分析的层面。我们探讨了不变微分算子的概念，它们是群作用下保持不变的微分算子，这些算子本质上是群表示理论在特定空间（如向量丛）上的体现。深入讨论了拉普拉斯-算子在紧致李群上的作用。拉普拉斯-算子与群作用的对易性，使得我们可以利用特征值来刻画表示的性质。具体来说，群的不可约表示的特征（迹）与李代数的作用（如卡西米尔算子）紧密相关。最终，本书以对无穷小表示与微分形式的联系作为收尾，展示了如何通过拉普拉斯算子和积分公式（如Weyl积分公式）将前述的代数结果（如特征公式）推广到所有紧致李群上，从而完成了从代数结构到几何、分析应用的完美闭环。本书旨在培养读者使用几何直觉引导代数计算的能力，为更深层次的表示论研究打下坚实基础。