Algebra Connections pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Prentice Hall

作者:Papick, Ira J.

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2005-12

价格:$ 107.72

装帧:Pap

isbn号码:9780131449282

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 数学
• 教育
• 高中数学
• 中学数学
• 教材
• 学习
• 练习
• 基础代数
• Connections系列

探索微积分的奇妙世界：一个严谨而直观的导引 图书名称：Calculus: A Rigorous and Intuitive Journey 图书简介 本书旨在为学生提供一个全面、深入且富有洞察力的微积分学习体验，它不仅覆盖了标准微积分课程所要求的所有核心内容，更侧重于建立学生对极限、导数和积分背后深刻数学思想的直观理解与严格论证能力。我们相信，真正的数学掌握源于对“为什么”的清晰认识，而非仅仅对“如何做”的机械记忆。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分将奠定整个微积分大厦的稳固基础。我们将从直觉上探讨“无限接近”的概念，随后引入 $epsilon-delta$ 语言，作为对极限精确定义的严谨工具。 章节一：预备知识与运动学回顾 回顾必要的前置知识，包括函数、三角函数、指数与对数函数的性质。我们将从物理学中的瞬时速度和位移问题引入，自然地揭示对精确“瞬间变化率”的需求，从而引出极限的必要性。 章节二：极限的精确定义与运算 详细剖析 $lim_{x o a} f(x) = L$ 的严格定义。通过大量的图形辅助和代数技巧，我们教授学生如何构造和解析极限的 $epsilon-delta$ 证明。我们将探讨单侧极限、极限不存在的情况（如振荡和趋于无穷），并详细推导代数极限定律。 章节三：无穷极限与渐近线 处理变量趋向无穷大时函数的行为。这不仅包括水平渐近线的确定，还深入探讨垂直渐近线与无穷不连续点。我们将引入比值测试（如 L'Hôpital 法则的初步概念，通过极限定义来理解）来比较函数增长的快慢。 章节四：连续性 从直观的“不中断的曲线”过渡到基于极限的精确定义。我们将分类讨论左连续、右连续以及函数在点和区间上的连续性。关键定理，如介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT），将被详细阐述并配以实际应用，展示其在证明函数存在性方面的强大力量。 第二部分：导数——变化率的艺术 本部分的核心是将极限的概念应用于描述事物如何变化。我们不仅关注导数的计算规则，更深挖其几何和物理意义。 章节五：导数的定义与微分 将平均变化率（割线斜率）过渡到瞬时变化率（切线斜率）。导出导数的定义公式 $f'(x) = lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。我们将分析导数存在性的条件，并探讨导数在何处不存在（尖点、垂直切线等）。 章节六：导数的计算法则 系统地推导和应用幂法则、常数倍数法则、和差法则、乘积法则与商法则。本节强调对这些法则的理解，而非单纯的记忆。 章节七：链式法则的精妙 链式法则是微积分中最重要的工具之一。我们将用多层嵌套函数的例子，清晰地阐释其“内函数导数乘以外函数导数”的原理。随后，我们将探索隐函数求导法，这对于处理相互依赖的关系至关重要。 章节八：导数的应用：理解函数行为 这是微积分的第一个高潮。我们利用一阶导数分析函数的单调性（上升/下降区间）和局部极值（最大值/最小值）。引入罗尔定理（Rolle's Theorem）和均值定理（Mean Value Theorem, MVT）。MVT 不仅是证明的基础，更是连接平均变化率和瞬时变化率的桥梁。我们还将使用二阶导数分析凹凸性（Concavity）和拐点，从而使用一阶与二阶导数检验法来精准描绘函数的完整形状。 章节九：相关变化率与线性近似 本节侧重于实际应用。通过构建相关的物理模型，我们学习如何处理随时间或某一变量变化而相互影响的其他变量的速率问题。线性近似和微分（$dy$ 与 $dx$）作为局部估计的工具被引入。 第十章：牛顿法与优化问题 应用导数解决实际的优化问题——在给定约束条件下求最大值或最小值。同时，介绍牛顿法这一强大的迭代数值方法，用于快速逼近方程的根。 第三部分：积分——累积与面积 本部分将视角从“变化率”转向“累积效应”，探索反向操作——反导数，以及其在计算面积、体积和总变化量中的应用。 章节十一：反导数与不定积分 导数的逆运算——反导数（或称不定积分）被系统介绍。我们将列出基本积分公式，并专注于逆用导数法则进行积分的技巧，特别是包含三角函数、指数和对数函数的积分。 章节十二：定积分的定义与黎曼和 这是理解积分的严谨核心。我们从几何问题（求曲线下面积）出发，通过分割、求和（黎曼和）和取极限的过程，精确定义定积分 $int_a^b f(x) , dx$。我们将详细讨论黎曼和的左、右、中点近似，并分析误差的来源。 章节十三：微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC） 本书的数学高光时刻。FTC（第一部分和第二部分）被清晰地阐述，它揭示了微分和积分之间深刻而优雅的对偶关系。我们将用严格的论证来支持其有效性，并展示如何利用FTC将复杂的黎曼和极限计算转化为高效的反导数计算。 第十四章：积分技巧 掌握不同的积分策略是有效求解的关键： 1. 换元积分法（$u$-Substitution）：作为链式法则的积分对应形式，其重要性不言而喻。 2. 三角换元法：专门应对含有 $sqrt{a^2-x^2}$, $sqrt{a^2+x^2}$ 等项的积分。 3. 分部积分法（Integration by Parts）：作为乘积法则的积分对应形式，用于处理形如 $x e^x$ 或 $x sin x$ 的乘积。 4. 三角函数的积分：处理高次幂的正弦和余弦函数的系统方法。 5. 有理函数积分：部分分式分解：处理复杂分式函数的标准技术。 第十五章：定积分的应用 将定积分的应用范围扩展到多个领域： 1. 几何应用：计算平面区域的面积（两个曲线之间的面积）。 2. 体积计算：圆盘法（Disk Method）、圆环法（Washer Method）和壳层法（Shell Method）用于求旋转体的体积。 3. 物理应用：计算功、质心、压力以及沿曲线移动的物体的总变化量。 第四部分：超越基础——超越函数与数值积分 本部分深入探讨指数函数、对数函数和反三角函数的积分特性，并引入处理复杂或无法解析求解积分的工具。 第十六章：自然指数与对数函数 深入探讨 $e$ 的定义（基于极限），以及自然对数函数的积分性质。掌握与 $ln x$ 相关的积分和导数，包括当被积函数为 $frac{1}{x}$ 的情况。 第十七章：反三角函数与双曲函数 详细推导 $arctan x$ 和 $arcsin x$ 的导数和积分。作为补充，本章对双曲函数（如 $sinh x, cosh x$）及其在积分和几何中的应用进行了介绍。 第十八章：积分的局限与扩展——Improper Integrals 处理积分限为无穷大或被积函数在积分区间内存在不连续点（瑕积分）的情况。这再次加强了对极限概念的依赖性，并引入了收敛与发散的概念。 第十九章：数值积分 当解析方法过于复杂或不可行时，数值方法成为必需。本章详细介绍辛普森法则（Simpson's Rule）和梯形法则（Trapezoidal Rule），并分析它们的误差界限，使读者了解精确解与近似解之间的关系。 本书的结构设计旨在引导学生从直觉感知到严谨推理，最终实现对微积分概念的全面、灵活的掌握。每一个新概念的引入都伴随着清晰的定义、大量的图示解释和精心设计的练习题，确保读者不仅能“会做”，更能“明白为什么”。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆