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出版者:Prentice Hall

作者:Peter J. Olver

出品人:

页数:736

译者:

出版时间:2005-01-20

价格:USD 137.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131473829

丛书系列:

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深入探索现代数学的基石：代数拓扑学导论 一部为数学家和理论物理学家量身打造的深度专著 作者： [此处可虚构一位资深学者的名字，例如：伊莱亚斯·范德比尔特教授] 出版社： [此处可虚构一家权威学术出版社的名称，例如：普林斯顿大学出版社/剑桥大学出版社] --- 内容提要与全景概览 本书《深入探索现代数学的基石：代数拓扑学导论》是一部为研究生和高年级本科生精心撰写的教材，旨在系统而严谨地介绍代数拓扑学这一现代数学分支的核心概念、基本工具及其在各个交叉学科中的应用。代数拓扑学作为连接代数、几何与分析的桥梁，是理解复杂空间结构、分类奇异点以及构建几何理论的必备知识体系。 本书的叙事结构遵循由浅入深、螺旋上升的原则，首先从直观的几何概念出发，逐步引入抽象的代数工具，最终导向当代研究的前沿领域。我们避免了对初等线性代数知识的过度依赖，而是专注于建立一个坚实的、基于范畴论和同调理论的代数框架。 全书共分为七个主要部分，辅以大量的习题和深入的“研究者笔记”部分，旨在培养读者独立解决问题的能力和批判性思维。 --- 第一部分：拓扑空间的基础与同伦理论的引入（第1章至第3章） 第1章：拓扑空间回顾与连续映射的代数捕捉 本章首先回顾了度量空间与一般拓扑空间的必要定义，重点关注紧致性、连通性等拓扑不变量。随后，我们引入了同伦（Homotopy）的概念，将其视为一种“连续形变”，并定义了同伦等价关系。这是代数拓扑区别于点集拓扑学的关键起点。我们详细讨论了商空间（Quotient Spaces）的构造，这是后续构建基本群所需的关键工具。 第2章：基本群与李群的初探 本章的核心是基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的构造。我们严格证明了基本群是一个群，并探讨了其对空间连通性的敏感性。关键定理包括：流形（Manifolds）上的路径连通性保证了基本群的存在性。我们通过计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 来展示代数工具的威力。此外，本章还首次引入了覆盖空间（Covering Spaces）理论，并展示了“提升定理”（Lifting Theorem）如何与基本群的结构紧密耦合，从而提供了一种计算其他拓扑空间基本群的强大方法。 第3章：同伦群与纤维丛 在奠定基本群的基础上，本章将概念推广到更高阶的同伦群 $pi_n(X)$。我们强调了Hurewicz同态，它将同伦群与同调群（将在后续章节详细介绍）联系起来。纤维丛（Fiber Bundles）的概念被引入，作为理解复杂流形结构的重要模型。我们详细分析了主纤维丛（Principal Bundles）的构造，并初步探讨了庞加莱截面定理（Poincaré Section Theorem）的直观意义。 --- 第二部分：奇异同调理论的构建（第4章至第6章） 第4章：奇异单纯形与链复形 本部分标志着从同伦理论到同调理论的重大转变。我们不再关注路径的“环绕性”，而是关注空间的“洞”的数量和维度。本章详细定义了奇异 $n$-单纯形（Singular $n$-Simplex），并基于这些单纯形构造了奇异链复形（Singular Chain Complex） $C_(X)$。关键在于边界算子 $partial$ 的定义及其零性的证明 ($partial circ partial = 0$)。 第5章：同调群的定义与基本性质 基于链复形和边界算子，本章严格定义了奇异同调群 $H_n(X)$ 为循环群除以边界群的商群。我们证明了同调群是拓扑不变量，即同伦等价的拓扑空间具有同构的同调群。本书花费大量篇幅讨论马耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence），将其视为计算复杂空间同调群的“瑞士军刀”。通过该序列，我们成功计算了球体 $S^n$ 和射影空间 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$ 的同调群。 第6章：拓扑不变量的深化：欧拉示性数与维数 本章将同调理论应用于具体的几何量度。我们定义了欧拉示性数 $chi(X)$，并证明了其与链复形中交替和的等价性，突出了欧拉-庞加莱公式（Euler-Poincaré Formula）的普适性。此外，我们讨论了布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的同调证明，以及域映射定理（Domain Mapping Theorem），后者利用了高阶同调群来证明低维流形之间不存在连续单射映射。 --- 第三部分：从同调到上同调与应用（第7章至第9章） 第7章：上同调理论与链映射 本章介绍了上同调（Cohomology）的概念，它通常被认为比同调更具代数结构。我们定义了上链复形 $C^(X)$ 以及上边界算子 $delta$，并建立了上同调群 $H^n(X)$。本书着重于万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），该定理揭示了上同调群与同调群之间通过 $ ext{Ext}$ 函子产生的深刻联系。我们详细探讨了上同调如何通过对偶性捕捉到更精细的几何信息。 第8章：环上同调与库涅特乘积 代数拓扑的精髓之一在于其代数结构。本章引入了上同调环（Cohomology Ring），通过库涅特乘积（Cup Product） $smile$ 将上同调群组织成一个环结构。我们证明了库涅特乘积的构造与空间的乘积（即拓扑空间的笛卡尔积）之间的关系，这通过拓普-利舍茨茨维茨定理（Künneth Theorem）得以精确表达。这一章节为微分几何中的特征类理论奠定了基础。 第9章：微分几何的视角：德拉姆上同调 为了连接纯拓扑与微分几何，本章引入了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。我们定义了光滑流形上的微分形式 $Omega^k(M)$ 和德拉姆边界算子 $d$。关键在于证明德拉姆定理（de Rham's Theorem），该定理确立了光滑流形的德拉姆上同调群与奇异上同调群之间的同构关系（通常通过并形同态实现）。本章还简要讨论了霍奇理论（Hodge Theory）在黎曼流形上的应用。 --- 第四部分：高级主题与交叉领域（第10章至第12章） 第10章：谱序列简介与流形上的不变量 谱序列（Spectral Sequences）是处理复杂代数结构时的强大工具。本章作为对高阶理论的介绍，重点讨论了Serre谱序列，它允许我们计算纤维丛的上同调群，前提是我们已知底空间和纤维的上同调群。此外，我们应用上同调理论，讨论了庞加莱对偶性（Poincaré Duality），并展示了它如何极大地简化了对流形同调群的计算。 第11章：拓扑K理论初探 本章介绍了代数拓扑学中一个重要且活跃的分支——拓扑K理论（Topological K-Theory）。我们从向量丛（Vector Bundles）的分类出发，定义了拓扑K群 $K(X)$。重点讨论了Bott周期性定理（Bott Periodicity Theorem）在K理论中的体现，并简要阐述了K理论与椭圆算子（如Atiyah-Singer指标定理）之间的深刻联系，尽管后者需要更深入的分析工具。 第12章：低维拓扑中的应用：3-流形与结理论 最后，本章将代数拓扑的工具应用于低维流形的研究。我们讨论了3-流形的分类问题，并介绍了韦尔-尼申定理（Wielandt-Nishimura Theorem）在结群上的应用。特别是，我们展示了如何利用基本群的结构来区分不同的结和环纽带（Links），强调了代数拓扑在拓扑几何学中的实用价值。 --- 附录与学习资源 本书包含六个深入的数学附录，涵盖了范畴论基础、蛇行引理的完整证明、链复合体上的张量积、以及对同调理论中各种公理（如迈耶-维托里斯公理）的详细阐述。习题被分为“基础计算”、“证明与拓展”以及“研究选题”三类，确保了从入门到研究的全面覆盖。 目标读者群： 数学、理论物理、计算机科学（几何处理方向）的研究生；对数学基础有深入追求的工程师和研究人员。 本书特色： 结构清晰，逻辑严密，强调代数工具的内在联系，致力于培养读者构建几何直觉与代数形式之间桥梁的能力，而非仅仅停留在计算层面。

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这本书的封面设计就散发着一种严谨而又充满活力的气息，深邃的蓝色背景与银色的书名交相辉映，似乎预示着这本书将带我进入一个逻辑严密但又不失创意的数学世界。我一直对线性代数这个领域抱有浓厚的兴趣，因为它在科学、工程、经济学甚至计算机科学等众多领域都有着举足轻重的地位。在翻阅这本书之前，我曾尝试过一些其他教材，但总觉得它们在某些方面不够深入，或者对于一些抽象概念的解释不够直观。因此，我怀揣着期待，希望《Applied Linear Algebra》能够填补我在这一知识领域的空白。这本书不仅仅是理论的堆砌，更侧重于它在实际问题中的应用，这一点对我来说尤为重要。我希望通过这本书，能够掌握那些能够解决实际问题的数学工具，而不是仅仅停留在纸面上的公式。例如，我一直对图像处理中的矩阵变换很感兴趣，比如旋转、缩放、剪切等，这些操作是如何通过矩阵来实现的？书中是否会详细讲解这些背后的原理？另外，在机器学习领域，许多算法都依赖于线性代数，比如主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等，这些技术是如何通过线性代数来揭示数据内在结构的？我希望这本书能够提供清晰的解释和生动的案例，让我能够真正理解这些强大工具的工作机制。此外，我对向量空间、线性变换、特征值和特征向量等核心概念的理解也需要进一步加深。我希望这本书能够以一种循序渐进的方式，从最基本的概念入手，逐步引导我深入到这些更复杂的理论。同时，我也期待书中能够提供丰富的习题，让我能够通过练习来巩固所学知识，并能够锻炼我的解题能力。毕竟，数学的学习离不开大量的实践。

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初次接触《Applied Linear Algebra》，我立刻被其系统性的结构和清晰的逻辑所吸引。这本书似乎精心设计了学习路径，从最基础的向量和矩阵运算开始，逐步引导读者进入更高级的主题，如行列式、向量空间、线性变换、特征值与特征向量等。我特别欣赏作者在解释抽象概念时所采用的类比和可视化方法。例如，在讲解向量空间时，书中是否会使用几何图形来帮助我们理解“张成”、“线性无关”以及“基”这些概念？我希望能够通过直观的几何意义来理解这些代数概念，而不是仅仅记住枯燥的定义。同时，我也期待书中能够深入探讨线性系统的求解方法，例如高斯消元法、LU分解等，并阐述这些方法的理论基础和在实际问题中的效率考量。在数据科学领域，求解线性方程组是处理各种模型和数据分析任务的基础。例如，在最小二乘法中，如何通过线性代数来找到最佳拟合线或平面？书中是否会详细推导和解释这些过程？我对数学的理解往往建立在对其在不同领域应用的认知上，因此，书中对线性代数在工程、物理、计算机图形学等方面的具体应用案例的呈现，对我而言是至关重要的。我希望能够看到如何利用矩阵来描述物理系统的演化，或者如何在计算机图形学中实现三维空间的变换。这种理论与实践的结合，能够极大地增强我的学习动力和学习效果。

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《Applied Linear Algebra》这本书给我的第一印象是它注重数学理论的严谨性与现实应用之间的一致性。我一直对“向量空间”和“线性变换”这两个概念很感兴趣。书中是否会从更抽象的层面来定义向量空间，例如，如何理解函数空间、多项式空间等作为向量空间？这些空间的“基”和“维度”是如何定义的？我希望能够通过书中提供的例子，构建一个关于向量空间的清晰的几何和代数图像。同时，对于“线性变换”的讨论，我希望能够深入理解它的核（kernel）和像空间（image space）的概念，以及它们如何决定线性方程组解的结构。这些概念在信号处理、信息编码等领域有重要的应用。我尤其期待书中能够详细讲解“特征值”和“特征向量”的意义。它们不仅是描述线性变换核心性质的工具，更在许多工程和科学领域，如振动分析、稳定性分析、量子力学中扮演着关键角色。我希望书中能提供清晰的计算方法和丰富的应用案例，让我能够理解如何利用这些工具来分析系统的行为。

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在我看来，一本好的数学教材应该不仅仅是知识的传递者，更应该是学习者思维的引导者。《Applied Linear Algebra》这本书给我带来的第一印象是它的严谨性和深度。我尤其关注书中对于“线性系统”的论述，如何通过矩阵表示来描述和求解复杂的线性方程组。高斯消元法、LU分解、QR分解等经典算法，它们背后的数学原理是什么？在实际应用中，它们的效率和稳定性如何权衡？我希望书中能够提供对这些算法的详细推导和分析，并阐述它们在数值计算中的重要性。在统计学和机器学习领域，线性代数无处不在。例如，在回归分析中，如何利用矩阵运算来求解回归系数？在主成分分析（PCA）中，特征值和特征向量如何帮助我们降低数据的维度？我希望书中能够提供这些实际应用的具体案例，并展示如何运用所学的线性代数知识来解决这些问题。同时，我也想了解书中是否会涉及一些更进阶的主题，例如内积空间、度量、正交化等，以及它们在信号处理、傅里叶分析等领域的作用。掌握这些概念，能够为我理解更复杂的数学和科学问题打下坚实的基础。

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对于《Applied Linear Algebra》这本书，我非常看重它在理论深度与实际应用之间的平衡。《Applied Linear Algebra》的书名本身就充满了吸引力，我一直认为数学的魅力在于它能够抽象地描述世界的运行规律，并且这些规律又能在现实生活中找到具体的体现。《Applied Linear Algebra》这本书是否会深入探讨矩阵的分解技术，例如奇异值分解（SVD）？SVD在图像压缩、推荐系统、自然语言处理等领域都有着广泛的应用。我希望书中能够详细解释SVD的原理，以及它如何揭示矩阵的内在结构和信息。此外，对于“向量空间”的讨论，我希望能够不仅仅停留在抽象的公理层面，而是通过具体的例子来展示不同向量空间的特性。例如，函数空间、多项式空间等，它们与我们熟悉的欧几里得空间有什么联系和区别？如何在这类空间中定义“基”和“线性无关”？我对“线性变换”也充满了好奇，特别是它的核（kernel）和像空间（image space）的概念。这些概念在理解线性方程组的解的集合以及在函数逼近理论中有什么重要作用？我希望书中能够提供清晰的解释和相关的应用案例。

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我一直对数学中的“抽象”与“具象”之间的联系感到着迷，而线性代数恰恰是连接这两者的桥梁。《Applied Linear Algebra》这本书的书名就暗示了它将带领我深入探索数学在实际问题中的应用。我非常好奇书中如何解释“向量”和“矩阵”的基本运算，以及这些运算背后隐藏的几何意义。例如，向量的加法和标量乘法在几何上代表什么？矩阵的乘法又是如何作用于向量和另一个矩阵的？我期待书中能够提供直观的解释和图示。同时，我也想了解书中对于“线性方程组”的求解方法，例如高斯消元法、LU分解等。这些方法是如何保证求解的正确性和效率的？在实际应用中，例如在工程计算中，如何选择最合适的求解方法？我希望书中能够提供这方面的讨论。此外，我对“特征值”和“特征向量”的理解还需要进一步加深。它们是如何揭示线性变换的本质，并在例如主成分分析（PCA）等数据降维技术中发挥作用？我希望书中能够提供清晰的理论推导和具体的应用案例，让我能够真正掌握这些强大的工具。

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《Applied Linear Algebra》这本书给我的第一感觉是它在理论构建上的严谨性以及在实际应用上的广泛性。我一直对“向量空间”的定义和性质感到好奇。书中是如何从公理化的角度来定义向量空间，并进一步阐述基、维度、线性无关等核心概念的？我希望能够通过书中丰富的例子，例如多项式空间、函数空间等，来深入理解这些抽象概念。同时，我也非常关注“线性变换”的讨论。线性变换是如何在不同向量空间之间建立联系的？它的核（kernel）和像空间（image space）在理解线性方程组的解的结构方面有什么重要作用？我期待书中能够提供这方面的详细讲解和应用。此外，我对“特征值”和“特征向量”的深入理解仍然有所欠缺。它们不仅仅是描述线性变换“不变性”的工具，更在许多工程和科学领域，如系统稳定性分析、振动模态分析、量子力学中有着至关重要的应用。我希望书中能够提供清晰的计算方法和丰富的应用案例，让我能够理解如何利用这些工具来分析和解决实际问题。

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我一直认为，数学学习最令人兴奋的部分是理解概念背后的逻辑以及这些概念如何被巧妙地应用于解决实际问题。《Applied Linear Algebra》这本书的书名就预示着它将带领我走进数学的应用世界。我非常想了解书中对“行列式”的阐述。行列式不仅仅是一个计算数值，它还蕴含着关于矩阵的许多重要信息，比如矩阵的可逆性、线性变换的缩放因子等。书中是否会详细推导行列式的性质，并阐述它在几何和代数中的意义？对于“特征值”和“特征向量”的讨论，我希望能够深入理解它们是如何揭示线性变换的“不变性”的。这些概念在稳定性分析、振动分析、量子力学等领域有着至关重要的作用。我期待书中能够提供详细的计算方法和丰富的应用案例，让我能够真正理解它们的威力。此外，在解决实际问题时，我们常常会遇到不可逆的矩阵或者近似问题。书中是否会介绍一些处理这些情况的线性代数技术，例如伪逆（pseudo-inverse）或者最小二乘法？我希望能够通过这本书，掌握处理更复杂、更接近真实世界问题的数学工具。

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我一直对数学中的“结构”和“映射”这两个概念深感兴趣，而线性代数恰恰是研究这些的绝佳领域。《Applied Linear Algebra》这本书的书名本身就暗示了它将带领我深入探索数学结构及其在实际世界中的应用。我很想知道书中是如何界定和解释“向量空间”这个核心概念的，它不仅仅是向量的简单集合，更是一种具有特定结构的代数系统。作者是如何阐述向量空间的“封闭性”、“加法结合律”、“数乘分配律”等公理的？这些抽象的公理又如何体现在我们熟悉的几何向量中？我期待书中能够提供丰富的例子，帮助我理解不同类型的向量空间，比如多项式空间、函数空间等。另外，线性变换在连接不同向量空间方面扮演着至关重要的角色。书中是否会深入探讨线性变换的性质，比如它的核（kernel）和像空间（image space）？这些概念在理解线性方程组的解的结构以及在信息论和编码理论中有什么应用？我非常期待书中能够提供关于这些内容清晰的讲解和具体的应用场景。此外，特征值和特征向量在描述线性变换的“不变方向”上起着关键作用。我希望书中能够详细解释如何计算特征值和特征向量，以及它们在稳定性分析、模态分析（modal analysis）等工程问题中的重要性。理解这些概念，对于我把握动态系统的行为至关重要。

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在我看来，一本优秀的数学教材应该能够激起读者的求知欲，并提供清晰易懂的解释，让复杂的概念变得触手可及。《Applied Linear Algebra》这本书的封面设计就透着一股严谨而又充满活力的气息，让我对接下来的学习充满了期待。我特别希望书中能够深入探讨“行列式”的性质及其在几何和代数上的意义。行列式不仅仅是矩阵的一个数值属性，它还蕴含着关于线性变换的缩放因子、可逆性等重要信息。我期待书中能够提供详细的推导过程和直观的解释，帮助我理解行列式的真正价值。同时，我对“特征值”和“特征向量”的理解还需要进一步巩固。它们如何揭示线性变换的“不变方向”？在例如主成分分析（PCA）等数据降维技术中，它们是如何帮助我们提取数据的主要特征的？我希望书中能够提供清晰的计算方法和丰富的应用案例，让我能够理解它们在现实世界中的强大作用。此外，在解决实际问题时，我们常常会遇到不可逆的矩阵或者需要近似解的情况。书中是否会介绍一些处理这些复杂情况的线性代数技术，例如伪逆（pseudo-inverse）或者最小二乘法？我希望能够通过这本书，掌握处理更复杂、更贴近真实世界问题的数学工具。

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就算是student manual答案也是简略。习题那么难谁能直接做出来？

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引用量前240名的数学家，美国明尼苏达大学数学院院长，Peter Olver夫妇所著, 折磨了明大学子10多年的御用教材.......