Study Guide for Reteaching and Practice Mathematical Connections pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Gardella, Francis J.

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:1991-5

价格:$ 38.11

装帧:Pap

isbn号码:9780395585580

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 学习指南
• 练习
• 重教
• 数学联系
• 教育
• K-12
• 教学资源
• 辅导
• 基础数学

深入探索高等代数与抽象结构：一本面向未来数学家的指南 书名：Foundations of Abstract Algebra and Advanced Calculus: Bridging Discrete and Continuous Mathematics 图书简介 本书旨在为有志于深入探索数学核心概念的学生和研究人员提供一座坚实的桥梁，连接离散数学的严谨逻辑与连续数学的精妙分析。它并非对初级代数或基础微积分的回顾，而是将焦点集中于那些构建现代数学大厦的深层理论——抽象代数的核心结构、拓扑空间的直观理解，以及多变量微积分的严密证明。 第一部分：抽象代数的结构与群论的基石 (The Architecture of Abstraction: Foundations in Group Theory) 本部分致力于构建读者对代数结构（代数系统）的深刻理解，从最基本的集合运算出发，逐步引向群、环和域这三大核心概念。我们超越了简单的运算规则，着重探讨这些结构背后的内在美学和应用潜力。 第一章：集合论与代数结构的萌芽 本章首先回顾了必要的集合论工具，但重点迅速转移到代数结构的正式定义上：二元运算的性质、封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的概念。我们将详细分析半群（Semigroups）和独异点（Monoids），作为理解群的预备知识。我们引入了同构的概念，强调结构上的等价性如何允许我们将复杂问题简化为更易于处理的模型。 第二章：群论的精髓：对称性与不变性 群论是理解对称性和变换的语言。本章从群的严格定义开始，深入探讨了子群、陪集和拉格朗日定理。拉格朗日定理的证明将作为读者学习严谨数学证明的典范。我们将详细剖析循环群的结构，理解它们在数论和密码学中的基础作用。 第三章：同态、同构与正规子群 本章是群论的核心。我们定义了群同态和同构，并探讨了它们在揭示不同群之间关系时的强大能力。重点放在正规子群（Normal Subgroups）上，它们是构造商群（Quotient Groups）的必要条件。商群的构建过程——即在一个群中“模去”一个子群——是抽象代数中最具启发性的概念之一，因为它展示了如何从一个大结构中提取出更简洁、更具代表性的信息。我们将详述第一同构定理（The First Isomorphism Theorem）及其在分类有限群中的威力。 第四章：有限群的分类与Sylow定理 对于有限群的研究，Sylow定理是不可或缺的工具。本章将分步解析Sylow第一、第二和第三定理，这些定理提供了关于一个有限群的p-群子群存在的保证。我们将运用这些定理来确定特定阶数的群是否为简单群，并对低阶群（如20阶和30阶的群）进行分类，展示理论如何转化为具体的分类结果。 第五章：环与域：代数的扩张 从群的单操作世界过渡到环的两操作世界（加法和乘法）。本章定义了环及其特殊类型——交换环、单位环以及域（Fields）。我们将研究子环、理想（Ideals）的概念，以及它们在构造商环（Quotient Rings）中的作用，这与商群的构建有着深刻的类比。我们将特别关注欧几里得整环、主理想整环（PIDs）和唯一因子分解整环（UFDs），这是理解多项式环和代数数论的基础。 第二部分：多变量分析的严密基础 (The Rigor of Continuity: Advanced Multivariable Calculus) 本部分将读者从单变量微积分的直观理解提升到多变量函数的严密分析层面，侧重于使用拓扑和线性代数的工具来处理高维空间中的变化。 第六章：拓扑空间与度量空间基础 在进行多变量分析之前，我们需要一个更一般的空间概念。本章引入了拓扑空间的正式定义，包括开集、闭集、邻域和紧致性（Compactness）。我们将重点放在度量空间上，用距离的概念来量化“接近性”。理解紧集上的连续函数的性质（如极值定理）是本章的核心目标，它为后续的积分和微分提供了必要的保障。 第七章：序列、极限与连续性的泛化 本章将单变量极限和连续性的概念推广到 $mathbb{R}^n$ 空间中。我们将探讨多重极限的存在性与计算，并严格证明连续函数的组合仍然是连续的。偏导数的定义和路径依赖性将在此处得到严格处理，为进入更高阶的导数概念做铺垫。 第八章：偏导数、方向导数与梯度场 我们深入探讨多变量函数的微分。方向导数提供了一种在任意方向上衡量函数变化率的方法，而梯度向量则指向函数增长最快的方向。本章详细分析了梯度场，并引入了链式法则在多维空间中的复杂形式，这对于优化和物理建模至关重要。 第九章：高阶偏导数与泰勒定理 本章关注二阶及以上偏导数，并讨论了 Clairaut 定理（混合偏导数相等性）的严格条件。多变量泰勒定理的建立是理解函数局部近似的关键。我们将探讨黑塞矩阵（Hessian Matrix）在确定函数的局部极值和鞍点时的作用，这构成了优化理论的数学核心。 第十章：多重积分与Fubini定理 本部分将积分的概念扩展到二维和三维区域。我们将严格定义黎曼积分的推广，并阐述Fubini定理，该定理允许我们通过迭代积分计算多重积分，但其应用前提（可积性）的讨论至关重要。我们还将介绍在不同坐标系（极坐标、柱坐标、球坐标）中进行积分的技巧，并展示这些坐标变换背后的线性代数原理。 第十一章：向量场、线积分与Green/Stokes定理 这是连接几何直觉与分析计算的巅峰。本章引入向量场、功的计算以及线积分的概念。我们将深入探讨微积分基本定理在更高维度上的体现：Green's Theorem（二维）、Stokes' Theorem（三维的环流积分）和Divergence Theorem（高斯定理，三维的通量积分）。这些定理展示了场论中“边界”与“区域内部”变化之间的深刻联系，是理论物理和流体力学分析的基石。 总结 本书的结构设计旨在培养读者的抽象思维能力和分析的严谨性。它要求读者不仅要“会算”，更要“能证”。通过对抽象代数基本结构的掌握和对多变量分析严密基础的巩固，读者将为进一步学习拓扑学、微分几何、代数几何或更高级的实分析打下不可动摇的根基。本书的难度适中偏高，是为那些准备迎接数学专业高阶挑战的学子量身定制的严谨读物。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆