Student Study Guide to accompany Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Wiley

作者:Deborah Hughes-Hallett

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-02-28

价格:49.7

装帧:Paperback

isbn号码:9780471659969

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• Study Guide
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Student Resource
• Problem Solving
• Calculus I
• Calculus II
• Engineering Mathematics

深入探索高等数学的基石：理论、应用与思维的交汇 一部全面、严谨且富有启发性的微积分学习指南 本书旨在为所有致力于掌握微积分核心概念、深化数学理解并将其应用于科学与工程领域的学习者提供一份无可替代的导读。它不仅仅是一本习题解答手册，更是一部精心构建的知识体系，引导读者从基础概念出发，逐步攀登至高等数学的壮丽山巅。 我们深知，微积分（Calculus）是连接离散数学与连续世界的桥梁，是现代科学、技术、经济乃至哲学思想的基石。因此，本书的编纂遵循清晰的逻辑结构和循序渐进的教学原则，确保每一位读者都能扎实地理解其背后的深刻原理，而非仅仅停留在机械的公式运算层面。 第一部分：极限与连续性——探寻运动与变化的本质 本导读的首要焦点在于极限（Limits）的概念。我们将深入探讨极限的$epsilon-delta$定义，这是微积分严谨性的核心所在。通过大量精心设计的实例，读者将学会如何精确地描述函数在特定点附近的“趋近”行为，无论是左极限、右极限还是双侧极限。我们会剖析极限在处理无穷大和无穷小时所展现出的强大力量，并详细阐述其在判定函数连续性（Continuity）中的关键作用。 连续性，即函数图像“不间断”的直观概念，将被提升到严格的数学语言层面。我们将系统地讨论不同类型的间断点——可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，并探讨介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值-最小值定理（Extreme Value Theorem）等基础但至关重要的理论工具，它们为后续的微分学奠定了不可动摇的理论基础。 第二部分：微分学——瞬时变化率的艺术 微分学（Differential Calculus）是本书的重点之一，它专注于描述瞬时变化率——即斜率的精确测量。 2.1 导数的定义与基本法则 我们将从斜率的极限定义出发，严谨地推导出导数（Derivative）的定义。随后，我们不会止步于简单的幂函数求导，而是会系统地构建起一套完整的求导工具箱： 基本求导法则： 和、差、积、商法则的推导与应用。 三角函数求导： 对所有六种基本三角函数的导数进行详细推导，并展示其周期性与对称性在导数计算中的体现。 复合函数求导——链式法则（Chain Rule）： 链式法则是处理复杂函数复合结构的关键。本书将通过多层嵌套的例子，帮助读者彻底掌握这一法则的逻辑结构，强调内函数与外函数导数的乘积关系。 隐函数求导与相关变化率问题： 探讨在笛卡尔坐标系中，当变量之间存在相互依赖关系时如何求导，并将其应用于解决现实世界中速率相互关联的动态问题。 2.2 高阶导数与函数分析 对导数进行迭代求导，我们得到了高阶导数（Higher-Order Derivatives）。二阶导数在分析函数的凹凸性（Concavity）方面扮演了核心角色，它揭示了函数曲线的弯曲方向。结合一阶导数提供的局部极值信息，我们将系统地运用一阶导数检验和二阶导数检验来精确地描绘函数的完整图像，找出所有局部最大值、最小值、拐点和渐近线。 2.3 微分的应用：优化与速率 微分的应用是微积分最引人入胜的部分。我们将聚焦于： 优化问题（Optimization Problems）： 经典的“最大化利润”、“最小化成本”、“最短路径”等实际问题，将被转化为寻找函数临界点的过程。我们将指导读者如何正确建立数学模型，并甄别出全局最优点。 线性近似与微分（Linear Approximation and Differentials）： 理解导数作为局部线性函数的角色，这不仅是理论上的重要概念，也是误差分析和数值计算的基础。 第三部分：积分学——累积、面积与反向操作 积分学（Integral Calculus）是对微分学的逆向操作，也是解决面积、体积、累积量等问题的有力工具。 3.1 定积分的构建：黎曼和与面积 本书将从历史视角引入定积分（Definite Integral）的概念，从对曲线下面积的直观理解出发，过渡到黎曼和（Riemann Sums）的精确定义。我们详细分析了取样点选择和划分区间精细度的变化对最终结果的影响，最终引向积分的严谨定义。 3.2 微积分基本定理——连接微分与积分的桥梁 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）是整个微积分理论的灵魂所在。我们将分部解析FTC的第一部分（导出面积函数）和第二部分（计算定积分的公式）。这一定理使得原本复杂的面积计算问题，转化为求解反导数（或称不定积分）的代数过程，极大地简化了计算。 3.3 不定积分与积分技巧 不定积分（Indefinite Integral），即反导数的求解，需要掌握一系列特定的积分技巧： 基本积分公式回顾： 对常用函数族的积分进行复习。 换元积分法（Substitution Rule）： 这是积分中最常用且最核心的技术，本质上是链式法则的逆应用。本书提供了大量的“识别模式”练习，帮助读者快速锁定应进行变量替换的部分。 分部积分法（Integration by Parts）： 基于乘积法则的逆运算，对于包含指数函数、对数函数或三角函数的乘积形式的积分至关重要。我们着重讲解如何选择$u$和$dv$的策略。 三角代换与部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）： 针对超越函数和有理函数的特定积分形式，我们将系统介绍这些高级的代数预处理方法。 3.4 定积分的应用扩展 在掌握了积分计算技巧后，本书将引导读者探索定积分在几何学中的广泛应用： 求解面积与体积： 不仅限于笛卡尔坐标系下的面积，还将扩展到使用圆盘法、圆环法以及壳层法求解旋转体体积。 曲线长度与曲面面积： 运用积分公式计算函数图形的弧长，以及由旋转产生的曲面面积。 物理应用： 包括计算质心、转动惯量、功（Work）以及流体的静压力。 第四部分：超越多项式——超越函数与数列极限 本导论的最后部分，将视野拓展到超越函数和序列的收敛性，为进入多变量微积分和更高级的分析课程做准备。 4.1 指数函数与对数函数的深度剖析 我们将从自然增长模型的角度，严谨地推导出自然对数函数 $ln(x)$ 和 自然指数函数 $e^x$ 的定义。随后的内容将侧重于它们的导数和积分性质，特别是 $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$ 和 $int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$ 的重要性。此外，对数函数的积分技巧，如利用分部积分法求解 $int ln x , dx$，将作为重点解析案例。 4.2 数列与级数：无穷的汇聚 对数列（Sequences）极限的精确描述，是理解级数（Series）收敛性的基础。我们将探讨： 收敛性检验： 涵盖了比值检验、根值检验、积分检验、比较检验等多种判定无穷级数是否收敛的工具。 幂级数（Power Series）： 幂级数是表达复杂函数的一种极其强大的方式。我们将详细讨论泰勒级数（Taylor Series）和麦克劳林级数（Maclaurin Series）的构造过程，解释如何利用这些多项式近似来精确表示和分析超越函数（如 $e^x, sin x, cos x$）。最后，我们将界定这些级数的收敛区间（Interval of Convergence）。 --- 本书的特色与优势： 本书的结构旨在培养学习者的数学直觉和解决问题的能力。我们强调概念的几何意义和物理意义，而非仅仅是代数操作。大量的逐步分解的示例、明确的解题步骤指导，以及对常见错误类型的预警，确保了学习路径的平滑高效。通过对理论基础的夯实和对应用场景的广泛覆盖，本书将成为您掌握微积分、自信迈向更复杂数学领域的坚实伙伴。

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