Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Steven Vajda

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2007-12-26

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486462769

丛书系列:

图书标签:

• Fibonacci numbers
• Lucas numbers
• Golden ratio
• Mathematics
• Number theory
• Sequences
• Mathematical analysis
• Combinatorics
• Geometry
• History of mathematics

好的，根据您的要求，我将为您撰写一份关于《Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section》一书内容的详细简介。请注意，以下内容完全基于该书的主题和核心概念进行扩展和阐述，力求详实、深入，并且不包含任何关于生成过程的元信息。 --- 图书简介：斐波那契与卢卡斯数，及黄金分割 导言：数列的优雅与自然的和谐 本书深入探索了数学世界中两组最为迷人且相互关联的整数序列——斐波那契数列（Fibonacci Sequence）和卢卡斯数列（Lucas Sequence）。这两组数列不仅是纯粹数学结构中的基石，更是连接离散数学、数论、组合学乃至自然界美学模式的桥梁。通过对这些数列的深入剖析，读者将领略到数学的深刻美感、严谨逻辑，以及它们在现实世界中无处不在的体现。 本书的结构旨在引导读者从基础的定义出发，逐步深入到复杂的性质、恒等式，并最终探究它们与几何学中至关重要的“黄金分割”之间的内在联系。这不是一本简单的科普读物，而是一部旨在提供扎实数学基础和广阔应用视野的专著。 第一部分：斐波那契数列——从兔子繁殖到代数恒等式 斐波那契数列的起源，可以追溯到列奥纳多·斐波那契在13世纪对兔子繁殖问题的经典描述。它的定义简洁而强大：数列的每一项都是前两项之和，起始项通常设定为 $F_0 = 0$ 和 $F_1 = 1$（或 $F_1 = 1, F_2 = 1$）。 基础性质与定义： 本书首先详尽阐述了斐波那契数列的递归定义 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$，并列举了前几十项，以建立直观的理解。随后，重点转向如何用通项公式（Binet's Formula）来表达任意一项 $F_n$。这个公式的推导过程，本身就是对特征方程求解技巧的精彩演示，它揭示了数列的指数增长本质。 恒等式的宝库： 斐波那契数列最引人入胜的特点之一，是其蕴含的丰富恒等式。本书会系统地介绍和证明一系列核心公式，包括： 1. 卡西尼恒等式（Cassini's Identity）： $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$。这个恒等式展示了相邻项乘积与平方项之间的微妙平衡，是理解其代数结构的基石。 2. 求和公式： 探讨前 $n$ 项斐波那契数的和 $sum_{i=1}^{n} F_i = F_{n+2} - 1$ 的证明方法，通常会采用构造性或归纳法。 3. 索引代数： 深入研究涉及多个索引的复杂公式，如 $F_{m+n} = F_{m-1}F_n + F_m F_{n+1}$，这些公式在组合证明中具有极高的价值。 组合意义： 除了代数结构，本书也强调斐波那契数在组合学中的解释。例如，$F_n$ 等于用长度为 1 和 2 的小木条铺满长度为 $n$ 的长条的方法总数，或是在 $n$ 个元素集合中不选择相邻元素的子集个数。这些解释将抽象的数字具象化。 第二部分：卢卡斯数列——斐波那契的“孪生兄弟” 卢卡斯数列，由爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）引入，与斐波那契数列共享相同的递归关系 $L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$，但其初始条件不同：$L_0 = 2$ 且 $L_1 = 1$。 卢卡斯数的特性： 本书将细致对比斐波那契数与卢卡斯数之间的关系。尽管递归形式相同，但它们的数值特性和分布模式存在显著差异。卢卡斯数列同样拥有自己的通项公式，该公式与斐波那契数的通项公式紧密相关，都依赖于黄金分割的比值。 关键的连接恒等式： 卢卡斯数与斐波那契数之间存在许多美丽而强大的交叉关系，例如： 1. 基本联系： $L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$。这个公式直接揭示了两个数列的内在统一性。 2. 平方关系： $L_n^2 - 5F_n^2 = 4(-1)^n$。这个恒等式是研究这两个数列在模算术和数论性质中的关键工具。 第三部分：黄金分割——无理数的永恒魅力 黄金分割，通常用希腊字母 $Phi$ (Phi) 表示，其定义是线段被分割成两部分，长段与短段之比等于整段与长段之比，即 $frac{a+b}{a} = frac{a}{b} = Phi$。其精确值为 $Phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$。 黄金分割与数列的融合： 本书的核心论点之一是 $Phi$ 如何作为斐波那契和卢卡斯数列的“极限驱动力”。 1. 比值的收敛性： 证明相邻斐波那契数的比值 $frac{F_{n+1}}{F_n}$ 随着 $n$ 的增大，必然收敛于 $Phi$。这展示了数列的指数增长率如何被黄金比例所精确定义。 2. 卢卡斯数的比值： 同样，$frac{L_{n+1}}{L_n}$ 也收敛于 $Phi$，但收敛的速度和初始阶段的行为与斐波那契数有所区别。 3. 通项公式的根源： 深入解析 Binet 公式（斐波那契数）和卢卡斯数的通项公式如何直接来源于求解二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根，这两个根正是 $Phi$ 及其共轭 $Psi = frac{1 - sqrt{5}}{2}$。 第四部分：应用与延展——从几何到数论 本书的最后部分将视野拓展到斐波那契数和卢卡斯数在更广阔数学领域中的应用。 几何与分形： 探讨黄金分割在几何结构中的体现，例如黄金矩形、黄金螺旋（通过斐波那契数近似构建的对数螺旋），以及它们在巴赫和达芬奇艺术作品中的历史性关联（尽管这些关联常被过度简化，但其数学基础值得探讨）。 数论性质： 分析这两个数列在素数检测和模运算中的行为。例如，哪些斐波那契数是素数（费马问题的一个变体），以及这些数列在模 $m$ 意义下的周期性（Pisano 周期）。 广义递归序列： 简要介绍如何将斐波那契和卢卡斯数的概念推广到更高阶的线性递归序列，以及这些序列在有限域和矩阵代数中的表示。 结语：永恒的数学结构 《Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section》旨在提供一个全面、深入的视角，审视这些看似简单的数列如何构建出复杂而优美的数学体系。通过掌握它们的定义、恒等式以及与黄金分割的深刻联系，读者将不仅提升其代数和数论技能，更能欣赏到数学结构中隐藏的和谐与普遍性。本书适合数学专业的本科生、研究生以及任何对离散数学和数论有浓厚兴趣的自学者。

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