Groups, Rings, Lie and Hopf Algebras pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:International Workshop Groups, Rings, L/ Bakhturin, Iu. A.

出品人:

页数:241

译者:

出版时间:2003-3-31

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781402012204

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 群论
• 环论
• 李代数
• Hopf代数
• 抽象代数
• 数学
• 高等代数
• 代数结构
• 数学教材

《群、环、李代数与霍普夫代数》内容概述 本书深入探讨了抽象代数中的四大核心分支：群论、环论、李代数以及霍普夫代数。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为数学专业学生和研究人员提供一个全面且深入的理论框架和丰富的应用实例。 第一部分：群论基础与结构 本书从群论的基石概念入手，详细阐述了群的定义、子群、陪集与拉格朗日定理。重点关注正规子群和商群的构造，为理解群的分解和结构提供了关键工具。 在结构理论方面，本书详尽讨论了有限群的结构。Sylow 定理被深入分析，不仅展示了其证明过程，更强调了其在判断群阶和子群存在性中的重要应用。接着，本书转向了更复杂的结构，如交换群的结构定理，特别是对于有限生成阿贝尔群的分类，为理解更一般代数结构奠定了基础。 非交换群的部分，本书引入了群作用的概念，并利用轨道-稳定子定理来分析对称性和置换群的性质。群表示论的初步介绍，特别是针对有限群的表示，为连接群论与线性代数开辟了道路。通过具体的例子，如二面体群、对称群和一般线性群的讨论，读者可以更好地掌握抽象概念的具体体现。 第二部分：环与域的理论 第二部分转向环论，从环的定义、子环、理想与商环开始。本书非常强调同态和同构定理在环理论中的作用，特别是对于理解模结构的重要性。 主理想整环 (PID) 和 唯一因子分解整环 (UFD) 的理论是本部分的核心。书中详细区分了这两种环的性质，并给出了明确的判别标准。分式域的构造过程被细致讲解，这是理解域理论和代数数论的基础。 模块化理论是环论中不可或缺的一部分。本书介绍了模的概念，并将其视为环上的“向量空间”。直和分解、射影模、内射模和平坦模的理论被系统介绍。特别地，对于Noether 环和 Artin 环的性质进行了深入探讨，包括它们与理想链条件的关系。 域论部分着重于域扩张。从简单的代数扩张到正规扩张和伽罗瓦扩张，理论逐步深入。伽罗瓦群的构造及其与域扩张次数、不动域之间的基本对应关系是本部分的重点。书中通过具体的例子，如三次方程和四次方程的可解性问题，展示了伽罗瓦理论的强大威力。 第三部分：李代数入门与结构 第三部分引入了李代数，将其定位为“近似群”的代数结构，特别是在无穷小对称性的研究中扮演关键角色。本书从李括号的定义、李代数的子代数、理想和商代数讲起。 表示论在李代数中至关重要。本书详细探讨了李代数的表示，特别是模的结构。核心内容集中在半单李代数的结构理论上。Killing 型被引入用以判断李代数的半单性，随后是Cartan 子代数的理论。 根系理论是理解半单李代数分类的关键。本书对根系的定义、正交性和Weyl 群进行了详尽的阐述。基于根系的分析，书中系统地导出了Cartan-Killing 分类定理，即所有复半单李代数都同构于某个特定类型的李代数（ADE 系列）。对于特定李代数如 $mathfrak{sl}_n, mathfrak{so}_n, mathfrak{sp}_{2n}$ 的根系和权重图（Dynkin 图）的构造被清晰展示。 Borel-Weil 定理的初步讨论，将李群的表示与其李代数的表示联系起来，为更深入的研究埋下伏笔。 第四部分：霍普夫代数的概念与应用 第四部分是全书的高级部分，聚焦于霍普夫代数。霍普夫代数作为一种具有乘法结构、余乘法结构、单位和零元，并且满足相容性条件的代数结构，是连接代数与几何、拓扑、量子群理论的桥梁。 本书首先定义了霍普夫代数，强调了余乘法（comultiplication）、余单位（counit）和反元素（antipode）的性质。对于李代数与包络代数之间的关系，本书展示了如何通过包络代数 $mathcal{U}(mathfrak{g})$ 构造一个自然的霍普夫代数结构。 对偶性的概念是理解霍普夫代数结构的关键。书中探讨了霍普夫代数的对偶空间如何自身构成一个霍普夫代数，并讨论了对偶霍普夫代数在研究李群或量子群时的重要性。 在应用方面，书中探讨了霍普夫代数在量子群理论中的角色（尽管不深入量子群的细节，但指明了方向），以及其在代数拓扑（如上同调环）和量子场论中的潜在关联。对有限霍普夫代数的结构性讨论，特别是与群代数的联系，为读者提供了具体的切入点。 全书通过大量的定义、定理、详细的证明以及贯穿始终的实例（例如在晶体基、Weyl 特征标公式的背景下），确保了读者对这些高度抽象概念的掌握。本书的难度适中，要求读者具备扎实的线性代数和群论基础，是代数高级学习的理想教材或参考资料。

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