Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Ambrosetti, Antonio/ Malchiodi, Andrea

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:2007-1

价格:$ 118.65

装帧:HRD

isbn号码:9780521863209

丛书系列:

图书标签:

• 非线性分析
• 半线性椭圆问题
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 变分方法
• 拓扑度
• 临界点理论
• 存在性
• 唯一性
• 正则性

深入探索泛函分析与偏微分方程的交汇点：一本关于拓扑方法与变分原理的新视角 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，探讨现代数学分析，特别是泛函分析与偏微分方程理论中的核心概念与前沿进展。我们聚焦于那些不依赖于标准椭圆方程理论框架，而更多地利用拓扑方法、变分原理的推广以及临界点理论来解决非线性问题的新兴领域。全书结构严谨，内容覆盖面广，力求在概念的清晰阐述与问题的深度挖掘之间取得平衡。 第一部分：泛函分析基础的重构与推广 本部分首先回顾了 Banach 空间和 Hilbert 空间的基本性质，但着重于从更抽象的视角审视这些结构在无穷维空间中的应用。我们引入了局部凸拓扑空间的概念，并深入讨论了 Hahn-Banach 分离定理在构建对偶空间和研究凸分析中的关键作用。这不仅仅是对经典理论的复述，而是为后续处理更复杂的非光滑或非凸能量泛函打下坚实的拓扑基础。 随后，我们将视角转向测度论与 L p 空间的进一步研究。超越 Lebesgue 积分的常规讨论，我们详细分析了函数空间上的弱收敛性，并引入了紧性准则，特别是 Riesz 定理在无穷维情境下的局限性，以及如何使用 Sobolev 空间中更精细的紧性概念（如 Morrey 空间或 Besov 空间中的某些迹）来处理微分算子。 一个核心章节专门献给临界点理论 (Critical Point Theory) 的现代发展。我们细致地剖析了 Palais 原理的意义，并介绍了 Mountain Pass 定理和 Saddle Point 定理的推广形式。对于那些能量泛函不满足标准光滑假设（例如，存在鞍点但无清晰的局部极小值）的情况，我们展示了如何运用位势不变性和同调工具（如 Lusternik-Schnirelmann 理论的简化版本）来证明目标函数存在无穷多个解或至少一个非平凡解。 第二部分：非线性算子理论与不动点方法 本部分的核心在于非线性算子的理论框架，它为处理大量的偏微分方程和积分方程提供了通用的分析工具。我们从单调算子理论开始，详细阐述了 Minty-Browder 定理和 Leray-Schauder 理论在某些特定函数空间上的应用。重点在于理解最大原则 (Maximum Principle)在非线性问题中的变体及其对解的正则性的影响。 接下来，我们深入探讨不动点理论的几何与代数视角。对于 Banach 空间中的连续映射，我们回顾了 Brouwer 不动点定理的推广——Schauder 不动点定理。然而，本书的重点在于拓扑度理论的推广与应用。我们构建了适用于非紧算子的不动点定理，例如 Goebel-Kirk 不动点定理和更广义的拓扑度理论，用以分析那些在边界处或无穷远处行为复杂的动力学系统或积分方程。 我们专门分析了拟线性算子 (Quasilinear Operators)，特别是那些涉及高阶导数或非线性扩散项的算子。在这里，我们探讨了变分不等式 (Variational Inequalities)的理论基础，将其视为广义解的框架，并讨论了它们在接触问题和自由边界问题中的物理意义。 第三部分：变分问题的几何化与拓扑分析 本部分将分析的重点转移到能量最小化和稳定性的问题上，即变分法。我们研究的重点是非凸能量泛函的最小化问题，这些泛函往往源于几何测度论或统计物理中的模型。 我们首先构建了直接法 (Direct Method)的严格论证，并详细讨论了Sobolev 空间中的紧性失效问题。为了克服这一困难，我们引入了磨光技术 (Regularization Techniques)和 $Gamma$-收敛 (Gamma-Convergence)。$Gamma$-收敛被视为变分问题在微小尺度下渐近行为研究的强大工具，它允许我们将复杂的局部结构映射到一个更易于分析的极限问题上。我们通过具体的例子，如最小曲面问题在网格化或薄膜模型中的极限，来阐明 $Gamma$-收敛在数学物理中的实际应用。 在拓扑分析方面，本部分引入了山路理论 (Mountain Pass Theory) 的更精确版本，特别关注于具有对称性的问题。我们分析了如何利用 Poincaré-Miranda 定理的变体来构造路径，并证明了在满足特定对称性条件下，解的存在性和多重性。我们还探讨了鞍点问题 (Saddle Point Problems)，例如在涉及克里洛夫子空间方法或特定边界条件下的问题，以及如何利用极小子流形理论 (Minimax Theory)来寻找非零的临界点。 第四部分：临界论的进阶主题与应用模型 最后一部分涵盖了一些更专业的、与纯粹椭圆理论边界较远的高级主题。 我们深入探讨了临界点理论在函数方程中的具体建模。例如，在研究形变、界面能或晶体结构时，系统的能量泛函常常表现出非局部性或退化性。我们研究了分数阶微分算子（如与 L 维纳过程相关的半群）在变分框架下的处理方法，以及如何利用广义布里奇曼（Bridgeman）技巧来处理这些非局部相互作用。 此外，书中对拓扑方法在非线性特征值问题中的应用进行了详尽的阐述。在许多物理系统中，我们寻找的是满足 $A(u) = lambda B(u)$ 形式的特征值，其中 $A$ 和 $B$ 都是非线性算子。我们讨论了Raleigh-Ritz 方法的泛函分析基础，并利用拓扑度理论来证明在给定限制条件下存在无限多个特征值，即使 $A$ 和 $B$ 都是非线性的。 全书的重点始终是建立在抽象空间上的分析工具，这些工具超越了传统的热传导或泊松方程所依赖的平滑性假设，直接面对现代数学物理中更具挑战性的非线性、非凸和非局部问题。本书适合具有扎实泛函分析基础的研究生和研究人员。

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我上学时这书才刚出版，那会要是学这个书可以少走很多弯路。

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