Positive Definite Matrices pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Bhatia, Rajendra

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 79.10

装帧:HRD

isbn号码:9780691129181

丛书系列:

图书标签:

矩阵论
正定矩阵
线性代数
数值分析
优化理论
数学
高等数学
矩阵分解
特征值
谱分析

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具体描述

This book represents the first synthesis of the considerable body of new research into positive definite matrices. These matrices play the same role in noncommutative analysis as positive real numbers do in classical analysis. They have theoretical and computational uses across a broad spectrum of disciplines, including calculus, electrical engineering, statistics, physics, numerical analysis, quantum information theory, and geometry. Through detailed explanations and an authoritative and inspiring writing style, Rajendra Bhatia carefully develops general techniques that have wide applications in the study of such matrices. Bhatia introduces several key topics in functional analysis, operator theory, harmonic analysis, and differential geometry - all built around the central theme of positive definite matrices. He discusses positive and completely positive linear maps, and presents major theorems with simple and direct proofs. He examines matrix means and their applications, and shows how to use positive definite functions to derive operator inequalities that he and others proved in recent years. He guides the reader through the differential geometry of the manifold of positive definite matrices, and explains recent work on the geometric mean of several matrices. "Positive Definite Matrices" is an informative and useful reference book for mathematicians and other researchers and practitioners. The numerous exercises and notes at the end of each chapter also make it the ideal textbook for graduate-level courses.

泛函分析导论：从希尔伯特空间到算子理论作者： [作者姓名，可虚构] 出版社： [出版社名称，可虚构] ISBN： [ISBN号码，可虚构] 图书页数：约 700 页开本： 16 开装帧：精装 --- 内容简介《泛函分析导论：从希尔伯特空间到算子理论》是一部为数学系高年级本科生、研究生以及致力于深入研究数学物理、应用数学和理论工程领域的专业人士精心撰写的教材与专著。本书旨在系统、严谨地构建泛函分析的理论框架，重点聚焦于拓扑线性空间、赋范线性空间、内积空间（希尔伯特空间）的结构，以及在线性空间上定义的线性算子的性质与谱理论。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，不仅涵盖了现代泛函分析的经典内容，同时也为读者提供了坚实的理论基础，以便进一步探索更前沿的领域，如非交换几何、无穷维李群表示论等。全书结构合理，章节之间层层递进，确保读者能够循序渐进地掌握这一至关重要的数学分支。第一部分：拓扑与线性空间的交汇——基础结构本书的开篇部分，我们首先回顾并深化了拓扑学和一般拓扑空间的基本概念，随后将其无缝地引入到线性代数的框架之中。第 1 章：预备知识与拓扑回顾本章首先对集合论、基础代数结构（群、环、域）进行简要回顾，随后详细阐述了拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、邻域、连续性。重点在于引入一致性空间（Uniform Spaces），作为度量和拓扑的统一视角，为后续引入拓扑向量空间打下基础。第 2 章：拓扑向量空间（Topological Vector Spaces, TVS）这是本书的第一个核心部分。我们定义了拓扑向量空间，探讨了其基本性质，例如子空间、商空间的拓扑继承性。接下来的重点是拓扑的度量化问题：哪些 TVS 可以由度量诱导？引入了可度量空间（Metrizable Spaces）的概念。我们深入探讨了局部凸性（Local Convexity）的重要性，引入了哈恩-巴拿赫分离定理（Hahn-Banach Separation Theorem）的几何意义和分析形式，这是泛函分析中无数后续定理的基石。第 3 章：赋范线性空间与巴拿赫空间本章将注意力集中在具有“范数”的拓扑向量空间，即赋范线性空间。范数的引入使得我们能够讨论收敛性、完备性以及“距离”。我们详细构建了巴拿赫空间（Banach Spaces）的理论，这是泛函分析中最常用、最核心的完备空间。关键定理包括：开映射定理（Open Mapping Theorem）、闭图像定理（Closed Graph Theorem），以及均匀有界原理（Uniform Boundedness Principle）。这些定理揭示了连续线性算子在完备空间中的深刻结构。第二部分：几何的力量——希尔伯特空间理论第二部分完全致力于具有内积的完备空间——希尔伯特空间（Hilbert Spaces）。内积的引入为抽象向量空间注入了强大的几何直觉。第 4 章：内积空间与几何结构本章定义了内积空间，并推导出柯西-施瓦茨不等式。我们探讨了正交性、正交基（或称“完备正交系”）的概念。重点讨论了正交补（Orthogonal Complement）的性质，并引入了Riesz 引理（Riesz Lemma），它描述了连续线性泛函与向量之间的内在联系。第 5 章：希尔伯特空间上的有界线性算子当空间是希尔伯特空间时，有界线性算子（即连续算子）的结构变得异常清晰。我们详细讨论了算子的伴随算子（Adjoint Operator）的定义、性质以及存在性。伴随算子是研究算子谱性质的桥梁。本章还会探讨投影算子的分解，以及最佳逼近问题在希尔伯特空间中的几何解法。第 6 章：$L^2$ 空间与傅立叶分析的推广本章将抽象理论应用于具体的函数空间，特别是 $L^2$ 空间。我们展示了 $L^2$ 空间作为无穷维希尔伯特空间的典范例子，以及完备正交系（如傅立叶级数）如何构成了 $L^2$ 空间的基石。这部分内容为量子力学中的态矢量空间提供了必要的数学背景。第三部分：算子的分析——谱理论与无界算子第三部分是本书的理论高潮，它将线性算子推广到更一般的、非有界（但自伴随或闭的）算子，并系统地发展了算子谱理论，这是连接分析与代数的关键领域。第 7 章：无界线性算子与闭性在许多应用中（如微分方程的解），我们必须处理定义域受限的（通常是无界的）线性算子。本章严格定义了稠密定义域、闭算子（Closed Operators）以及自伴随算子（Self-Adjoint Operators）。我们阐述了如何通过闭包（Closure）的概念，将紧凑的巴拿赫空间理论推广到希尔伯特空间上的非有界算子。第 8 章：有限维算子的谱理论回顾为了铺垫无穷维情况，本章首先回顾了有限维矩阵的特征值、特征向量和对角化。我们引入了多项式函数演算，这为后续的谱理论奠定了直观基础。第 9 章：有界算子的谱理论本章是泛函分析的核心理论之一。我们定义了算子的谱（Spectrum） $sigma(T)$，并深入分析了谱的拓扑性质（如谱是紧集）。我们详细证明了谱半径公式。随后，我们转向研究有界正规算子（Normal Operators），重点阐述了谱定理（Spectral Theorem）的积分形式，即算子可以通过谱测度分解。这个强大的工具使得复杂的算子运算可以通过谱上的函数运算来理解。第 10 章：无界自伴随算子的谱定理本书最后一部分将谱定理推广到无界自伴随算子，它们是微分算子（如拉普拉斯算子）在 $L^2$ 空间上的自然框架。我们介绍了函数演算（Functional Calculus）的构造，特别是通过使用单参数群（如 $e^{i t A}$）来定义谱测度。本书将详细论证，对于任何无界自伴随算子 $A$，都存在一个唯一的谱测度 $E$ 使得 $A = int_{mathbb{R}} lambda dE(lambda)$。 --- 本书特色 1. 严谨性与应用性的平衡：本书严格遵循分析的逻辑，保证所有关键定理的证明都详尽无遗。同时，通过对 $L^2$ 空间和微分算子的讨论，紧密联系了量子力学和偏微分方程的应用背景。 2. 拓扑结构先行：强调了拓扑向量空间作为通用框架的重要性，而非直接跳入赋范空间，使得读者对“完备性”和“连续性”的理解更为深刻。 3. 丰富的习题设计：每章末尾均附有难度分层的习题集，旨在巩固概念理解（I 类）并引导读者探索更高级的主题（II 类），例如遍历理论的初步探讨或测度论在算子理论中的具体应用。本书是通往现代数学研究殿堂的坚实阶梯，为有志于从事理论物理或高级数学研究的读者提供了不可或缺的工具集。