Kolmogorov's Heritage in Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Nikolski, Nikolai K. 编

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:2007-8-29

价格:GBP 59.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540363491

丛书系列:

图书标签:

• akb
• 数学史
• 概率论
• 信息论
• 复杂性
• 算法
• 可计算性
• 递归论
• 拓扑学
• 泛函分析
• Kolmogorov

现代分析与拓扑学的基石：基于范畴论的视角 本书导言 本书旨在为高等数学，特别是现代分析学和拓扑学的研究者与高级学生，提供一个从范畴论的深度视角审视基础概念的全新框架。我们摒弃了传统微积分和集合论的直接构建方式，转而探索那些驱动整个数学结构的底层逻辑和通用语言——范畴论。这不是一本关于范畴论本身的教科书，而是利用范畴论的强大抽象能力，来重新阐释、统一和深化我们对分析、几何与代数交汇点的理解。 第一部分：基础范畴与函数的重构 第一章：从集合到预有序集：范畴的初始形态 本章首先回顾了集合范畴 ($mathbf{Set}$) 的局限性，并引入了预有序集范畴 ($mathbf{Pos}$) 作为第一个非平凡的数学结构范畴。我们着重探讨了 $mathbf{Pos}$ 中的态射（即序保持映射）如何编码了信息的依赖关系，而非仅仅是元素的对应。通过对极限和余极限在 $mathbf{Pos}$ 中的具体构造，我们揭示了最小上界（supremum）和最大下界（infimum）的范畴论本质，这为后续处理收敛性和完备性问题奠定了基础。 第二章：拓扑空间作为“邻域结构”的范畴 拓扑学的核心在于邻域系统。本书将拓扑空间范畴 ($mathbf{Top}$) 视为对 $mathbf{Set}$ 施加了一种特定结构的范畴化过程。我们深入分析了连续映射的定义如何通过函子（Functor）来捕捉结构保持性。重点讨论了子基、初等拓扑以及乘积拓扑的范畴构造，并证明了在 $mathbf{Top}$ 中，拓扑的形成过程本质上是对特定极限结构的精确控制。我们详细考察了同构的等价性在 $mathbf{Top}$ 中的体现，并引入了紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的函子化表达。 第三章：度量空间的范畴与收敛的几何学 度量空间 ($mathbf{Met}$) 是现代分析学的核心载体。本章的核心论点是：度量空间可以被视为赋予了“距离”这一特定代数结构（满足三角不等式）的集合。我们构造了度量空间的范畴 $mathbf{Met}$，并讨论了等距映射（Isometries）作为其主要态射。通过引入紧收敛的概念，我们展示了如何利用范畴论工具来处理函数序列的收敛性，特别是Ascoli 定理的内在范畴结构。完备性的概念被提升为对特定极限的精确存在性要求。 第二部分：函数的空间与线性结构 第四章：向量空间与模：线性代数的范畴视角 本章转向代数结构，分析了向量空间范畴 ($mathbf{Vect}_K$)。我们着重讨论了该范畴的阿贝尔性（Abelian Property），这使得我们可以对核（Kernel）和上核（Cokernel）进行深入研究。线性映射的性质，如秩-零化度定理，被重新解读为态射在特定短正合序列中的性质。我们将该观点推广到模（Modules）的范畴，强调了这种统一性如何简化了对线性泛函和对偶空间的研究。 第五章：赋范空间与Banach空间：范畴与度量的交集 将第三章的度量结构与第四章的线性结构相结合，本章聚焦于赋范空间（Normed Spaces）的范畴 $mathbf{Norm}$。Banach空间被定义为 $mathbf{Norm}$ 中的完备对象。我们深入探讨了有界线性算子作为态射的性质，并应用范畴论的思想来理解Baire范畴定理的本质——它本质上是对 $mathbf{Norm}$ 中特定稠密子集的某种“非空性”断言。开映射定理和闭图像定理被置于函子和自然变换的框架下进行重新检验。 第六章：Hilbert空间：内积结构与自伴算子 Hilbert空间是泛函分析的圣杯。本章从范畴论的角度看，Hilbert空间是赋予了内积（一种更强的二次型结构）的向量空间。我们分析了自伴算子（Self-Adjoint Operators）作为一种特殊的态射，它们在保持该内积结构方面的重要性。谱理论不再仅仅是矩阵理论的延伸，而是关于这些特殊算子在特定范畴内如何分解和表示的深刻结论。 第三部分：函数分析的深层结构与对偶性 第七章：Sobolev空间与微分算子 本章将分析的对象提升到函数的空间。Sobolev空间 $W^{k,p}$ 被构造为特定拓扑结构与 $L^p$ 空间结合的产物。我们探讨了微分算子如何作为定义在这些复杂范畴之间的特定类型的映射。本章的关键在于，我们使用胚（Sheaf）的概念来局部化地描述解的存在性，将对全局解的探寻转化为对局部结构保持映射的研究。 第八章：对偶性与Fenchel-Moreau变换 泛函分析的核心是对偶性理论。本书将对偶空间（Dual Spaces）视为特定函子（如 $ ext{Hom}(cdot, mathbb{K})$）的构造。我们详细研究了Riesz表示定理，并从范畴论的对偶性原理出发，探讨了Fenchel-Moreau变换的意义。该变换被视为将一个范畴中的对象（凸函数）通过特定方式映射到其“对偶”范畴中，体现了数学结构间的深刻对称性。 第九章：从度量到测度： Radon-Nikodym 定理的范畴解释 测度论被视为对概率和积分概念的严格化。本章将测度空间视为一个在集合上附加了 $sigma$-代数（一种特殊的代数结构）的对象。Radon-Nikodym定理被置于条件期望和特定函子（如 $ ext{L}^1$ 空间到 $ ext{L}^infty$ 空间的投影）的框架下进行分析。我们展示了概率测度如何作为一种特殊的“质量分布”结构，在分析的范畴内保持其相容性。 结论：范畴论在现代分析中的统一力量 本书最后总结了范畴论如何提供了一个超越具体集合论构造的统一语言。从拓扑空间的邻域到函数空间的完备性，再到微分方程的局部解，所有这些看似不同的概念，都可以被视为在特定数学范畴内对结构保持态射的精确描述。这种高层次的抽象不仅揭示了数学分支间的内在联系，更为未来构建更广泛、更统一的分析理论提供了必要的思维工具。读者将学会如何“看”到数学对象背后的结构，而非仅仅是它们具体的元素构造。

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