Geometric Modelling, Numerical Simulation, and Optimization pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Hasle, Geir 編

出品人:

頁數:570

译者:

出版時間:2007-2

價格:$ 157.07

裝幀:HRD

isbn號碼:9783540687825

叢書系列:

圖書標籤:

• Geometric Modelling
• Numerical Simulation
• Optimization
• CAD/CAM
• Computational Geometry
• Finite Element Analysis
• Engineering Mathematics
• Applied Mathematics
• Computer Graphics
• Scientific Computing

拓撲學基礎與應用：從純理論到工程實踐 圖書簡介 本書係統地探討瞭現代拓撲學在各個工程與科學領域中的應用，尤其側重於其在材料科學、結構分析以及復雜係統建模中的實際效能。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎的代數拓撲概念到前沿的計算拓撲數據分析（TDA）技術。我們期望讀者在閱讀完本書後，不僅能掌握拓撲學的核心思想，更能將其內化為解決復雜工程問題的有力工具。 第一部分：代數拓撲的基石 本書的開篇部分旨在為讀者構建一個堅實的理論基礎。我們沒有過多糾纏於純粹數學中抽象的範疇論或更深的同調理論，而是聚焦於那些對幾何和數據結構分析至關重要的概念。 第一章：流形與嵌入 我們從對“空間”的重新定義開始，引入微分流形的嚴格概念。不同於傳統的歐幾裏得空間，流形提供瞭描述彎麯、非綫性幾何對象的框架。本章詳細闡述瞭嵌入定理和浸入的概念，這些是理解高維數據結構幾何特性的前提。特彆關注瞭李群和齊性空間在描述物理對稱性中的角色。 第二章：同調群的直觀理解 拓撲學的核心在於“不變性”。本章著重於如何用代數工具——同調群——來捕捉空間的“洞”和“連通性”。我們采用一種高度直觀的方式來介紹西姆普利斯（單純形）復閤體和鏈復形。重點討論瞭歐拉示性數作為第一個拓撲不變量的計算方法，並將其應用於分析多孔介質的拓撲結構。通過具體的例子，如環麵和球麵，展示瞭如何通過計算第一同調群來區分不同拓撲類型的對象。 第三章：基本群與縴維叢 相較於同調群的“全局性”，基本群（或稱第一同倫群）更側重於路徑的“環繞性”。本章深入探討瞭如何利用基本群來分析包含缺陷或孔洞的結構，例如螺紋或扭麯的管道係統。縴維叢的概念被引入，以描述局部結構如何通過一個連接（Connection）來整體聯係起來，這對於理解電磁場理論和廣義相對論中的幾何結構至關重要。 第二部分：計算幾何與離散化 理論的價值在於實踐。本部分將抽象的拓撲概念轉化為可操作的計算框架，這是連接數學理論與工程模擬的橋梁。 第四章：三角剖分與純復形 在計算機環境中，連續的幾何對象必須被離散化。本章詳細討論瞭如何將任意復雜的三維幾何體轉化為計算友好的純復形（如四麵體網格或三角網格）。重點分析瞭網格質量對後續數值計算精度的影響，並介紹瞭局部重構技術以保證網格的拓撲保真性。 第五章：離散微分幾何 微分幾何在連續介質力學中扮演核心角色，但當處理離散網格時，如何“離散化”微分算子成為瞭關鍵。本章引入瞭有限元方法（FEM）框架下的離散拉普拉斯-貝特拉米算子，並討論瞭如何利用離散的外微分來定義網格上的流和散度，確保離散化過程保持基本的拓撲一緻性。 第六章：拓撲優化（非結構化網格背景） 本章側重於在不破壞結構連通性的前提下，對係統進行優化設計。我們討論瞭基於拓撲概念的結構優化方法，區彆於傳統的形狀優化。關注點在於如何通過控製材料分布來維持或改進結構的魯棒性，例如在輕量化設計中確保關鍵路徑的連通性，避免因局部材料移除導緻整體結構失效。 第三部分：拓撲數據分析（TDA）與復雜係統 隨著高維數據的爆發式增長，識彆數據內在幾何結構的需求日益迫切。本部分將拓撲學應用於數據科學領域。 第七章：持續同調與持久性圖 持續同調（Persistent Homology）是 TDA 的核心算法。本章深入剖析瞭其計算流程，如何通過逐步增加過濾閾值來構建一個簡化復形序列。重點在於解釋“持久性圖”的意義——它如何量化數據集中拓撲特徵的顯著性（即其“生命周期”），從而有效地區分真實的結構特徵與噪聲。 第八章：高維數據的降維與可視化 拓撲方法提供瞭一種區彆於主成分分析（PCA）或t-SNE的降維視角。我們展示瞭如何利用拓撲嵌入技術，在低維空間中盡可能地保留高維數據之間的鄰近關係和拓撲結構。具體討論瞭 Mapper 算法的應用，該算法利用聚類和覆蓋映射來構建數據的“拓撲骨架”，對於理解高維生物或金融數據中的“知識流”至關重要。 第九章：網絡拓撲與魯棒性分析 現實世界的復雜係統（如交通網絡、電力係統或社交網絡）本質上是圖結構。本章運用代數拓撲工具分析這些網絡的連通性和魯棒性。討論瞭如何通過圖的周期性、割集和聯通分量來評估係統在故障發生時的響應，以及如何利用拓撲指標（如高階連通性）來預測級聯失效的發生。 結論：展望 本書的最後一部分總結瞭拓撲學在麵嚮未來計算領域中的潛力，包括量子信息中的拓撲保護編碼，以及對復雜非綫性偏微分方程解集的幾何研究。我們強調，理解空間的內在結構是解決現代科學挑戰的關鍵。本書旨在激發讀者超越傳統數值方法的限製，利用幾何和拓撲的視角來重塑問題。 目標讀者： 本書適閤於對數值方法、計算幾何、數據科學以及高級工程力學有深入興趣的研究生、高級本科生以及從事相關領域的工程師和研究人員。要求讀者具備紮實的微積分和綫性代數基礎。

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