具体描述
This is the softcover reprint of the 1975 English translation of the first three chapters of Bourbaki's Groupes et algebres de Lie. The first chapter describes the theory of Lie algebras, their deviations, representations, and enveloping algebras. Chapter two introduces free Lie algebras in order to discuss the exponential, logarithmic and the Hausdorff series. Chapter three deals with the theory of Lie groups over R and C ultrametric fields.
《深入解析几何拓扑学前沿：从欧几里得基础到黎曼流形》 本书导言： 在数学的宏伟殿堂中，几何学与拓扑学构成了理解空间、结构与形变的基石。本书旨在为那些渴望超越传统欧几里得几何框架，迈入现代微分几何与代数拓扑前沿的研究者、高年级本科生及研究生提供一份全面而深入的导览。我们不再满足于平面上的直线和球面上的测地线，而是将目光投向更高维度的抽象空间，探索那些在形变下保持不变的内在属性，以及如何用分析的工具去刻画这些几何对象的本质。 本书的结构设计遵循逻辑递进的原则：从坚实的分析基础出发，逐步构建起微分流形这一核心研究对象，最终触及现代几何学中几个最活跃的研究领域。我们力求在严谨的数学论证和清晰的直观阐述之间找到最佳平衡点。 --- 第一部分：分析基础与拓扑空间的构建 在正式进入微分几何之前，对分析工具的精确掌握至关重要。本部分首先回顾并深化了实分析中关于函数空间、测度和积分的知识，为后续引入流形上的张量分析奠定基础。 第一章：泛函分析的几何视角 本章聚焦于拓扑向量空间理论，特别是巴拿赫空间和希尔伯特空间。我们详细探讨了这些空间上的范数、内积对几何结构的影响，如正交性、完备性及其在傅里叶分析中的应用。重点讨论了有界线性算子的性质，以及利用 Hahn-Banach 定理和开映射定理来确立泛函分析的几何直觉。我们将引入“测度”这一核心概念，从 Lebesgue 测度出发，探讨更一般的 $sigma$-代数和测度空间，强调其在概率论和几何概率中的应用，例如如何定义高维空间中的“体积”概念。 第二章：从度量空间到一般拓扑空间 本章是理解“接近性”与“连续性”的理论基石。我们从度量空间出发，自然过渡到更抽象的拓扑空间。详细阐述了开集、闭集、邻域、紧致性、连通性的严格定义及其等价条件。特别是对紧致性的讨论，将贯穿全书，因为它与函数的存在性定理（如极值定理）紧密相关。我们深入研究了商拓扑的构造，这对于理解纤维丛和构造特定几何空间至关重要。此外，本章还首次引入了基本群（Fundamental Group）的概念，作为度量空间拓扑不变量的最简单非平凡实例，为代数拓扑的入门做了铺垫。 --- 第二部分：微分流形：现代几何的语言 微分流形是连接光滑函数与空间结构的核心桥梁。本部分致力于完整地建立微分流形的定义、坐标系以及相关的分析工具。 第三章：流形的构造与坐标变换 本章是全书的基石。我们精确定义了 $n$ 维光滑流形、图册（Atlas）和转移函数。重点分析了光滑性在不同坐标系下的保持性，以及为什么要求转移函数是无限可微的（$C^infty$）。我们详细探讨了向量场和张量场在局部坐标下的表现形式，特别是协变和反变向量分量的变换法则，这对于后续定义微分形式至关重要。引入了李群（Lie Groups）作为特殊的、具有内在结构的流形实例，如 $GL(n), SO(n)$。 第四章：切空间、向量场与李导数 切空间 $T_pM$ 的引入标志着我们从纯拓扑结构转向了局部微分结构。我们从方向导数的角度出发，精确定义了切向量作为线性泛函的集合。本章的核心是向量场及其积分曲线的理论，包括局部存在唯一性定理。接着，我们引入了李括号 $[mathbf{X}, mathbf{Y}]$，并解释了它在流形上“无穷小生成元”上的深刻几何意义，展示了它如何衡量两个向量场流动的不可对易性。李导数 $mathcal{L}_X alpha$ 的定义及其在保持特定几何量（如度量、微分形式）不变性方面的作用将得到详尽阐述。 第五章：微分形式与外微分 本章将分析工具提升到更抽象的层面——微分形式（Differential Forms）。我们定义了 $k$ 阶外积 $wedge^k T^M$ 上的微分 $d$。本书将耗费大量篇幅解释外微分的性质，特别是 $d^2 = 0$ 这一深刻的代数拓扑结果。我们将通过外微分来重述经典微积分中的格林、斯托克斯和高斯公式，展示它们在任意光滑流形上的统一形式——广义斯托克斯定理。这一章节的掌握是理解德拉姆上同调和复杂几何分析的关键。 --- 第三部分：几何结构的度量与曲率 有了光滑结构和分析工具后，我们开始在流形上“测量”和“弯曲”。 第六章：黎曼几何的起源：度量张量 本章引入了黎曼度量张量 $g$，它赋予流形一个内积结构，从而可以讨论长度、角度和距离。我们详细分析了度量张量在局部坐标下的分量 $g_{ij}$ 及其逆 $g^{ij}$。重点讨论了黎曼度量诱导出的共变导数 $
abla$，以及它如何定义测地线（Geodesics）——“流形上的直线”。我们将推导出测地线方程，并讨论完备性与测地线完备性之间的关系。 第七章：曲率的代数与几何表达 曲率是衡量空间弯曲程度的内在量。本章首先从切空间的平行移动概念出发，定义了黎曼曲率张量 $R$（Riemann Curvature Tensor）。我们将利用 $R$ 来定义里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Scalar Curvature），强调这些张量是如何由度量 $g$ 唯一确定的，并且它们在坐标变换下保持张量性质。我们将深入分析重要的特例，如常曲率空间（如球面、双曲空间）以及爱因斯坦流形。 第八章：黎曼流形上的几何分析 本章将几何与分析结合，探讨受度量控制的微分方程。我们将研究一些著名的几何算子，如拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$（Laplace-de Rham Operator），并探究其在流形上热传导和波传播问题中的意义。我们将阐述霍奇理论（Hodge Theory）的初步思想，即 $Delta$ 的零空间与德拉姆上同调群之间的关系，这展示了曲率和拓扑结构是如何通过分析工具相互关联的。 --- 第四部分：前沿主题初探 最后，本书简要触及了现代几何学中几个重要的、活跃的研究方向，为读者指明进一步深入学习的路径。 第九章：纤维丛与联络 我们引入纤维丛（Fiber Bundles）的概念，如向量丛和主丛，以理解流形上的“额外结构”。重点阐述了联络（Connection）在向量丛上的定义，特别是如何利用联络来定义切空间的平行移动和曲率。杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）中的规范场概念将作为纤维丛曲率应用的现代实例被提及。 第十章：拓扑的代数视角：上同调简介 本章回到拓扑结构，但采用更强大的代数工具。在阐述了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 之后，我们将探讨它与奇异上同调群的联系。通过引入拓扑不变量的概念，我们将展示如何使用上同调群来区分不同的流形，即便它们具有相同的维度，从而从根本上超越了仅依赖于局部导数和度量的几何学方法。 --- 结论与展望： 本书提供的不仅仅是一套数学工具，更是一种理解空间、形变和内在不变性的全新视角。通过对微分流形、黎曼几何和基本拓扑工具的系统学习，读者将为深入研究广义相对论、弦理论、规范场理论或纯数学的代数拓扑、微分拓扑等领域打下坚实而全面的基础。每一个章节都力求激发读者对未被发现的几何真理的探索欲。
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