具体描述
Useful, well-written graduate level text designed to acquaint the reader with group-theoretic methods and to demonstrate their usefulness as tools in the solution of mathematical and physical problems. Covers such subjects as axioms, the calculus of complexes, homomorphic mapping, p-group theory and more. Many proofs are shorter and more transparent than older ones.
群论导论：结构、对称性与应用的基础 作者： 佚名 出版社： 经典数学出版社 出版年份： 2024年 页数： 约 650 页 装帧： 精装 --- 内容简介 本书旨在为初学者和希望巩固基础的数学爱好者提供一个清晰、严谨且富有启发性的《群论导论》。本书的重点在于构建群论的基本概念框架，深入探讨有限群的结构理论，并展示这些抽象结构如何作为理解数学和物理世界中对称性的强大工具。 本书的结构经过精心设计，力求在保持数学严谨性的同时，最大限度地降低初学者的理解门槛。我们避免了对特定进阶领域（如表示论的高级分支、群代数的拓扑结构或特定领域的应用深度解析）的过度涉猎，而是将精力集中于群论的核心骨架的构建上。 全书共分为六个主要部分，层层递进： 第一部分：群的起源与基本定义（第1章 - 第3章） 本部分是理解后续所有内容的基石。我们从集合论的视角出发，引入二元运算，并确立群的四个基本公理。 第1章：预备知识回顾 本章快速回顾了集合、函数、同构、交换代数等必要的预备概念，确保读者具备必要的数学背景。重点讲解了代数结构的概念层级，将群置于更广阔的代数结构图景之中。 第2章：群的公理化定义与初步示例 详细阐述了群、交换群（阿贝尔群）的正式定义。通过大量具体的、易于理解的例子来固化概念，包括整数加法群 $mathbb{Z}$、模 $n$ 整数加法群 $mathbb{Z}_n$、非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$ 以及单位根群。我们特别强调了单位元和逆元的唯一性证明。 第3章：子群与陪集 引入了子群的概念，并着重分析了子群的判定定理。这是理解群内部构造的关键一步。随后，本章引入了陪集（左陪集与右陪集），清晰地展示了陪集如何将群分解为不相交的划分，为拉格朗日定理的证明做好了铺垫。 第二部分：核心定理与结构分解（第4章 - 第6章） 本部分是群论的核心技术所在，聚焦于有限群的性质和基本分解定理。 第4章：拉格朗日定理及其推论 本书将拉格朗日定理的证明作为核心内容之一，力求清晰展示其逻辑链条。推论部分包括子群的阶、元素的阶、以及有限群的阶整除群的阶。本章还简要介绍了循环群，并完全分类了所有有限循环群的结构。 第5章：正规子群与商群 正规子群的概念被视为连接“子群”与“结构分解”的桥梁。本章严格区分了普通子群与正规子群的性质差异，并详细阐述了商群（或因子群）的构造过程。商群的运算定义（即群乘法在陪集上的自然推广）被仔细推导和论证，确保读者理解为何商群本身构成一个群。 第6章：同态与同构定理 本章集中阐述群之间的映射关系。首先定义群同态和同构，并引入核（Kernel）和像（Image）的概念。随后，本书详细呈现了第一同构定理（也称基本同态定理）的完整证明及其在简化群结构中的作用。第二、第三同构定理作为对第一定理的推广，也进行了清晰的陈述和验证。 第三部分：有限群的结构分析（第7章 - 第9章） 本部分深入有限群的结构分析，关注重要的定理和分类工具。 第7章：Sylow 定理的引入与应用 本书将 Sylow 定理视为有限群理论的巅峰。本章首先通过具体的例子（如 $S_3$ 或 $A_4$）来激发读者对 Sylow 子群的兴趣。随后，本书提供了Sylow 第一、第二和第三定理的完整陈述，并对定理的关键步骤进行了详细的论证，特别是关于 Sylow $p$-子群存在的证明。本章的重点在于运用 Sylow 定理来判定小阶群（如阶为 12, 20 等）的结构，特别是判断其是否为可解群。 第8章：可解群与单群 本章定义了正规列和可解群的概念，并讨论了可解群的性质（如子群、商群的可解性）。随后，我们引入了单群（Simple Group）的概念——那些除了平凡群和自身以外不存在正规子群的群。我们将证明 $A_5$ 是最小的非阿贝尔单群，并简要提及有限单群分类计划的意义。 第9章：直积 本章探讨了如何将两个或多个较小的群组合成一个更大的群。清晰区分了内直积（Internal Direct Product）和外直积（External Direct Product）的概念，并阐述了它们之间的联系，特别是对于有限阿贝尔群的结构分解。 第四部分：置换群（第10章 - 第11章） 置换群是理解对称性最直观的模型，也是群论的“试验场”。 第10章：置换群的基础 本章定义了对称群 $S_n$ 和一般置换群。通过对循环、对换以及置换的分解（循环分解）的深入分析，读者可以掌握描述任何置换的方法。重点讲解了置换的奇偶性（Sign）及其与交错群 $A_n$ 的关系。 第11章：群作用与轨道-稳定子定理 本章引入群作用的概念，这是连接群论和集合论/几何学的关键。详细阐述了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的定义。轨道-稳定子定理被视为一个强大的计数工具，其证明简洁而有力。本章最后讨论了共轭类（Conjugacy Classes）与群作用的关系，这是理解非阿贝尔群内部结构的关键。 第五部分：无限群的初步探索（第12章） 虽然本书侧重于有限群的清晰结构，但本章为读者提供了通往无限群世界的初步指引。 第12章：无限群的例子与挑战 本章介绍了无限阿贝尔群的例子，如 $mathbb{Z}$ 和 $mathbb{Q}$。重点探讨了无限群中面临的新挑战，例如拉格朗日定理不再适用，以及无限群的子群结构可能异常复杂。本章简要提及了自由群（Free Groups）作为构造无限群的工具，但不深入其拓扑或组合性质。 第六部分：总结与展望（第13章） 第13章：理论的交叉与应用概述 本章回顾了前面所学到的核心概念，强调群论作为连接抽象代数、拓扑学、几何学和数论的统一语言的角色。本章不会深入讲解表示论、代数几何或物理学应用，而是提供一个高层次的概览，指出群论在理解晶体结构、粒子对称性以及密码学中的基本思想是如何产生的。 --- 本书特点总结 1. 清晰的逻辑路径： 结构上严格遵循从基础定义到核心定理，再到结构分解的顺序，确保每一步骤都有坚实的基础。 2. 强调证明的细节： 对群论中的主要定理（如拉格朗日、同构定理、Sylow 定理）的证明过程进行了详尽的分解与解释，而非简单罗列结果。 3. 丰富的示例驱动： 每一个新概念的引入都伴随着清晰的、具体的例子，特别是对低阶群（如 $S_3, D_4, Q_8$）的全面分析，以帮助读者建立直观理解。 4. 聚焦核心： 本书刻意避免了对高阶表示论、拓扑群、或高级模论的介绍，确保初学者能够扎实掌握群论的代数基础和结构分析工具。 本书是数学系本科生、理论物理和化学专业学生学习代数基础的理想入门教材，亦是希望重温群论核心概念的专业人士的可靠参考书。
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