Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Keith M. Ball

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2003-12

价格:$ 51.98

装帧:Paperback

isbn号码:9780691113210

丛书系列:

图书标签:

科普
数学
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具体描述

How does mathematics enable us to send pictures from space back to Earth? Where does the bell-shaped curve come from? Why do you need only 23 people in a room for a 50/50 chance of two of them sharing the same birthday? In "Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations", Keith Ball highlights how ideas, mostly from pure math, can answer these questions and many more. Drawing on areas of mathematics from probability theory, number theory, and geometry, he explores a wide range of concepts, some more light-hearted, others central to the development of the field and used daily by mathematicians, physicists, and engineers. Each of the book's ten chapters begins by outlining key concepts and goes on to discuss, with the minimum of technical detail, the principles that underlie them. Each includes puzzles and problems of varying difficulty. While the chapters are self-contained, they also reveal the links between seemingly unrelated topics. For example, the problem of how to design codes for satellite communication gives rise to the same idea of uncertainty as the problem of screening blood samples for disease. Accessible to anyone familiar with basic calculus, this book is a treasure trove of ideas that will entertain, amuse, and bemuse students, teachers, and math lovers of all ages.

宇宙的隐秘织锦：从几何奇观到概率迷思一部引领读者深入探索数学核心、揭示其在自然界与人类思维中无处不在的迷人力量的深度导览。本书并非一本探讨特定怪异曲线或兔子种群增长模式的教科书。相反，它是一场宏大、跨越多个数学分支的探险，旨在揭示数学作为一门语言、一种思维工具，如何精确地描绘我们所感知的世界，并预示那些尚未被发现的真理。我们将专注于数学的结构性美感、逻辑的严谨性，以及它如何作为理解复杂系统的基础框架。 --- 第一部分：空间的本质与结构的优雅本部分将我们带入拓扑学与微分几何的迷宫，探索空间如何被定义、扭曲和测度。我们将超越欧几里得的平面限制，进入更高维度和非寻常曲面的世界。第一章：连续性的边界——拓扑学的奇妙房间拓扑学，常被称为“橡皮泥几何学”，研究的是那些在连续形变下保持不变的属性。我们不会纠缠于特定方程，而是探讨“洞”的数量、连通性以及边界的本质。流形的概念与内在几何：讨论如何用局部欧几里得结构来描述弯曲的整体空间（如球面、环面）。我们将深入分析黎曼度量的意义，理解距离和角度在弯曲空间中如何被重新定义，以及这如何影响光线传播和引力场的几何描述（不涉及具体爱因斯坦方程的推导，而是强调其几何根源）。连通性与嵌入：探究诺特理论的直观基础，即如何区分不同类型的“缠绕”或“连接”。例如，区分一个环和一个环面如何通过拓扑操作区分开来。我们将考察著名的不可定向曲面，如克莱因瓶的内在矛盾，以及它们在物理学（如弦论的某些早期模型）中的象征意义。不动点定理的哲学重量：聚焦于布劳威尔不动点定理，探讨为什么在特定连续映射中，总会有一个点保持原位。这不仅仅是一个数学事实，更是关于稳定状态、经济均衡或流体运动中必然存在的“坚持点”的深刻见解。第二章：曲率的语言——微分几何的视界微分几何是连接代数与连续形变的桥梁。本章重点在于曲率如何编码了空间的信息。高斯绝妙定理的精髓：理解高斯曲率如何完全由表面上的测量决定，无需参考嵌入空间。这揭示了宇宙局部几何的自足性。我们将用直观的例子说明，如何在鹅卵石或马鞍面上“测量”曲率，从而理解空间的内在属性。测地线：弯曲空间中的“直线”：探讨测地线作为两点间最短路径的角色，以及它们如何描绘自然界中的运动轨迹（如行星轨道），而非牛顿意义上的受力路径。我们将对比平坦空间中的直线与弯曲空间中的大圆弧的本质区别。场的几何化描述：简要介绍如何用向量场和微分形式来描述物理现象（如电磁场），突出其在坐标系无关性上的优势，展示数学如何提供对自然规律更深刻、更普适的表达方式。 --- 第二部分：离散世界的逻辑与规律本部分转向组合数学与图论，探讨如何对有限、离散的对象进行计数、连接和分析，揭示隐藏在看似随机事件背后的有序结构。第三章：连接的艺术——图论的社会网络与逻辑骨架图论是研究关系和连接的学科。我们关注的不是特定图形的绘制，而是其结构属性及其在现实世界中的应用。网络拓扑与鲁棒性：讨论中心性度量（如介数中心性、度中心性）如何量化网络中关键节点的角色。这适用于分析互联网骨干、电力网或蛋白质相互作用网络，关注系统在部分失效时的恢复能力。遍历问题与路径优化：探索如哈密顿路径和欧拉回路的理论基础，理解在给定约束下完成所有连接的可能性与效率。这关乎物流规划、电路设计中的连通性问题。着色问题与资源分配：引入图着色的概念，将其作为解决冲突和分配资源的抽象模型，例如频率分配或日程安排的最小资源需求。第四章：计数背后的深层结构——组合学的洞察力本章着重于生成函数和递归关系的威力，它们是处理无限序列和复杂计数的强大工具。生成函数：无限序列的压缩编码：探讨如何将一个复杂的计数问题转化为寻找一个代数函数（生成函数）的系数。这种转换能力使我们能利用微积分和代数工具来解决纯粹的离散问题。排列与组合的普适性：强调二项式系数的几何意义（在帕斯卡三角中），以及它们在概率论中的核心地位。我们将更关注它们在更抽象结构（如格点路径）中的应用。恒等式的证明与发现：讨论组合论证（Combinatorial Proofs）的优雅之处——即通过构建一个结构，并从两种不同的角度对其进行计数，从而证明一个代数等式。 --- 第三部分：不确定性与决策的数学框架最后一部分将目光投向概率论和信息论，探究我们如何在信息不完全的情况下进行推理和决策。第五章：随机过程与世界的演变我们将研究系统随时间变化的随机性，而非静态的概率分布。马尔可夫链：无记忆的未来：阐述马尔可夫性的意义——未来只依赖于当前状态，与过去历史无关。这对于建模天气变化、市场波动或分子运动至关重要。重点分析稳态分布，即系统长期演化后会趋于稳定的状态结构。泊松过程与事件的发生：探讨如何用泊松分布来建模单位时间内独立随机事件的发生率，从电话呼叫到粒子衰变，理解“随机”事件的内在频率规律。随机游走的历史与未来：分析二维或三维空间中的随机游走，探讨其“返回原点”的概率问题，这与物理学中的扩散现象密切相关。第六章：信息的度量与压缩的极限信息论提供了一种量化“不确定性”和“信息量”的客观方法。香农熵：不确定性的量化：深入理解熵作为衡量信息源不确定性的核心概念。我们将关注熵如何与概率分布的“平坦”程度直接相关，解释为什么均匀分布具有最大的熵。编码的效率与极限：讨论信源编码定理，即信息量如何决定无损压缩的理论极限。这揭示了自然语言和任何数据源中固有的冗余度和可压缩性。信息与统计推断：简要连接信息论与统计学，探讨最大熵原理如何指导我们在信息不足时做出最“不偏不倚”的概率假设。 --- 结语：数学作为世界的蓝图本书的终极目标是展示，无论是对弯曲时空的精妙描述，还是对复杂网络中关键节点的识别，抑或是对信息流动的量化，数学提供了一套超越日常感知的、统一的语言。它不是一套僵硬的规则，而是一套探索存在性和可能性边界的工具。读者将带着对结构、关联和规律的全新视角，重新审视他们周围的现实。