Explorations in College Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Kime, Linda Almgren/ Clark, Judy/ Michael, Beverly K.

出品人:

页数:688

译者:

出版时间:2005-1

价格:$ 187.02

装帧:Pap

isbn号码:9780471465768

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Functions
• Polynomials
• Equations
• Graphing
• Algebra
• Calculus Preparation

深入探索：高等代数基础与应用 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富于启发性的高等代数学习体验，侧重于代数概念的内在逻辑、实际应用以及与数学其他分支的联系。本书的结构设计，旨在引导学习者从坚实的初级代数基础出发，稳步迈向更抽象、更强大的代数思维模式。 本书并非对某一特定教材的简单复述或替换，而是基于对当代高等教育中代数教学需求的深刻理解而构建的全新体系。我们相信，真正的数学理解来自于主动的探索和对“为什么”的追问，而非仅仅对“如何做”的机械模仿。因此，本书的内容组织极具层次感和连贯性。 第一部分：基础的重塑与深化 (Foundational Reshaping and Deepening) 本部分致力于巩固和深化读者对代数核心概念的理解，超越高中代数教学中常见的技巧性训练。 第一章：超越线性方程组：矩阵方法的几何意义 本章将线性方程组的求解从高斯消元法的程序性描述提升到线性变换和向量空间的基础视角。我们将详细探讨矩阵的秩、行列式作为变换体积变化率的意义，以及特征值和特征向量在描述系统稳定性或动态行为中的关键作用。内容将包含对三维空间中线性变换的几何直观解释，并引入奇异值分解（SVD）的初步概念，强调其在数据分析中的基础作用。 第二章：多项式的深层结构 除了寻找根和多项式除法，本章聚焦于多项式的代数结构。我们将深入研究环论中的基本概念，如多项式环 $mathbb{R}[x]$ 或 $mathbb{C}[x]$ 的域结构，并详细分析不可约多项式的概念及其在伽罗瓦理论中的历史意义。对于根的解析表达，本书将清晰阐述阿贝尔-鲁菲尼定理的深层含义，即五次及以上一般多项式不可用根式求解的代数限制。 第三章：函数与变换的拓扑视角 我们将重新审视函数，将其置于更广阔的拓扑空间背景下。重点分析连续函数在保持结构方面的能力，讨论紧集、连通性等拓扑性质如何影响函数图像的全局行为。特别关注反函数、反向映射的性质，并使用极限的概念来严格定义函数的渐近行为，为后续微积分的学习打下严谨的分析基础。 第二部分：数域的扩展与结构 (Expansion and Structure of Number Fields) 本部分将带领读者走出实数域，探索代数结构如何驱动数域的构建和理解。 第四章：复数域的代数完备性 复数不仅仅是 $a+bi$ 的形式。本章深入探讨复数域 $mathbb{C}$ 的代数完备性——代数基本定理的多种证明思路（侧重于拓扑和复分析的视角，而非单纯的代数构造）。我们将详细分析复数的极坐标表示法，并将其与二维向量空间中的旋转操作建立起强烈的几何联系。莫比乌斯变换（共形映射）将作为本章的亮点，展示复变函数如何以一种优雅的方式统一线性变换和反演。 第五章：初识抽象代数：群论的基石 群论是现代数学的语言之一。本章聚焦于群的基本概念：封闭性、结合律、单位元和逆元。我们将通过对称群 ($S_n$)、二面体群 ($D_n$) 等具体的例子来建立直观认识。拉格朗日定理的证明及其在确定有限群子群数量方面的应用将被详细剖析。我们将探索同态和同构的概念，理解不同看似不相关的代数结构之间可能存在的深层等价性。 第六章：有理数域的延伸与域扩张 超越有理数域 $mathbb{Q}$，我们探究如何通过添加代数数来构建新的数域。本章将详细解释域扩张 $[F: K]$ 的次数概念，并引入最小多项式在构造扩张域中的核心作用。我们将分析代数数和超越数的区别，并讨论构造 $mathbb{Q}(i)$ 或 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 这种初级扩张的明确步骤和内在结构。 第三部分：代数在现代科学中的映射 (Algebraic Mappings in Modern Sciences) 本部分将代数工具应用于更复杂的模型和实际问题，展现其解决实际难题的强大能力。 第七章：离散结构与组合优化 本章转向离散数学领域，重点关注图论。我们将把图的邻接矩阵与本章开头的矩阵理论联系起来。讨论最短路径问题（如 Dijkstra 算法的代数基础）、连通性分析以及如何利用矩阵的幂来计算图中的路径数量。此外，本章还将引入基础的布尔代数，展示其在数字逻辑和计算机科学中的核心地位。 第八章：线性代数与数据分析的交汇点 本章将线性代数的工具，特别是特征值和特征向量，置于现代数据科学的背景下。我们将详细讲解主成分分析（PCA）的数学原理，解释特征向量如何指示数据集中方差最大的方向。同时，回归分析中的最小二乘法的几何解释将被清晰阐述，揭示其本质上是如何寻找最优拟合子空间的问题。 第九章：数论的代数根源 本章从抽象代数的角度回顾数论的核心概念。我们将使用群论工具来分析模运算（同余关系），深入研究欧拉定理和费马小定理的群论证明。线性同余方程组的求解将被置于中国剩余定理的框架下进行解析，展示代数结构如何提供解决数论问题的优雅路径。 结语：通往更深层次数学的桥梁 本书的最终目标是培养读者一种“代数直觉”——一种能够预见结构、识别模式并利用抽象工具解决具体问题的能力。本书的深度和广度旨在为读者在未来深入学习抽象代数、拓扑学、微分几何或理论物理等领域时，提供一个坚不可摧且富有洞察力的知识基础。读者在合上此书时，应当能以全新的视角审视所有涉及结构、变化和对称性的数学对象。

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