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出版者:Springer Verlag

作者:Bronshtein, I. N. (EDT)/ Semendyayev, K. A./ Musiol, G./ Muhlig, H.

出品人:

页数:1153

译者:

出版时间:

价格:59.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540434917

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《现代应用代数：从理论到实践的桥梁》 作者： 艾米莉亚·文森特 (Dr. Emilia Vincent) 出版社： 全球科学出版集团 (Global Scientific Press) 出版年份： 2024年 --- 内容简介： 《现代应用代数：从理论到实践的桥梁》是一部专为高等院校理工科、计算机科学、经济学以及数据科学领域的学生和专业人士精心撰写的综合性教材与参考手册。本书旨在弥合纯粹数学理论与复杂现实世界应用之间的鸿沟，以清晰、系统且前沿的方式，深入剖析了现代代数在解决当代工程、信息技术及定量分析问题中的核心作用。 本书并非传统意义上侧重于抽象群论、环论和域论的纯数学著作，而是将重点完全聚焦于线性代数、抽象代数在离散系统中的应用、有限域理论，以及矩阵计算在数值分析中的前沿进展。我们深知，对于应用型学科的学习者而言，掌握代数工具的适用边界、计算效率和实际建模能力远比证明复杂的定理更为重要。 全书结构严谨，逻辑清晰，分为四大核心模块，共计十六章。 第一部分：基础重塑与计算线性代数（Revisiting Fundamentals and Computational Linear Algebra） 本部分着重于夯实读者对线性代数概念的理解，但视角完全服务于计算和应用。我们从向量空间、线性变换的几何直观出发，迅速过渡到数值稳定性至关重要的主题。 第1章：向量空间与基础结构（Vector Spaces and Foundational Structures）： 侧重于有限维空间，着重讲解内积、正交性、Gram-Schmidt正交化过程在信号处理和数据投影中的应用。 第2章：矩阵分解与求解系统（Matrix Decompositions and System Solving）： 深入探讨LU分解、Cholesky分解（特别是对于优化问题的意义），以及如何利用这些分解来高效处理大规模稀疏线性系统。重点讨论了迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）的收敛性分析。 第3章：特征值问题与稳定性分析（Eigenvalue Problems and Stability Analysis）： 不仅限于计算特征值，更强调其在系统动态分析（如常微分方程组的稳定性）、主成分分析（PCA）中的实际意义。引入了奇异值分解（SVD）作为处理秩亏损和噪声数据的首选工具，并详细讲解了SVD在推荐系统和图像压缩中的核心地位。 第二部分：抽象代数在离散系统中的应用（Abstract Algebra in Discrete Systems） 这一部分是本书区别于一般线性代数教材的关键所在，它将抽象代数（特别是群论）的概念转化为信息技术和密码学领域的实用工具。 第4章：群论基础与对称性（Group Theory Basics and Symmetry）： 简要回顾群、子群、同态映射，但立刻转向对称群（$S_n$）在晶体学和分子结构识别中的应用。 第5章：环、理想与多项式运算（Rings, Ideals, and Polynomial Operations）： 侧重于多项式环$mathbb{F}[x]$的性质，为后续的有限域打下基础。重点讲解模运算和欧几里得算法在求解模逆元中的高效实现。 第6章：有限域（伽罗瓦域）的构建与算术（Construction and Arithmetic of Finite Fields (Galois Fields)）： 这是本书的亮点之一。详细解释了如何构造$GF(2^m)$以及在这些域上的加法和乘法运算规则。内容覆盖了代数在纠错码（如BCH码、Reed-Solomon码）中的精确建模。 第三部分：代数编码理论与信息安全（Algebraic Coding Theory and Information Security） 本部分将前两部分的理论知识直接应用于现代通信和数据保护领域。 第7章：线性分组码（Linear Block Codes）： 从生成矩阵和校验矩阵的角度，清晰阐述了汉明码的构造原理和译码过程。详细分析了最小汉明距离与纠错能力之间的关系。 第8章：循环码与生成多项式（Cyclic Codes and Generator Polynomials）： 引入多项式表示法，讲解如何利用生成多项式来简化循环码的编码和代数译码过程（如Chien搜索算法的理论基础）。 第9章：现代公钥密码学中的代数（Algebra in Modern Public-Key Cryptography）： 重点讨论基于离散对数问题的系统（如Diffie-Hellman密钥交换）和基于大整数因子分解的系统（RSA）背后的数论与代数结构。强调模幂运算的效率和安全性。 第10章：椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography - ECC）： 深入分析椭圆曲线群的构造、点加法的几何与代数规则，以及其相对于传统密码学的效率优势，特别是点乘运算的算法优化。 第四部分：优化、控制与数值方法（Optimization, Control, and Numerical Methods） 本部分关注代数工具在连续系统和优化问题中的应用，强调算法的数值实现和收敛性。 第11章：二次型与优化（Quadratic Forms and Optimization）： 阐述二次型与正定矩阵的关系，如何利用Hessian矩阵的性质来判断局部极小值。重点讲解牛顿法在多变量优化问题中的矩阵迭代步骤。 第12章：拉格朗日乘数法与约束优化（Lagrange Multipliers and Constrained Optimization）： 从线性代数的角度重审拉格朗日方程组，理解KKT条件中的线性代数结构，这对于求解大规模凸优化问题至关重要。 第13章：控制系统中的代数表示（Algebraic Representation in Control Systems）： 讲解状态空间表示法（State-Space Representation），使用矩阵指数来求解线性时不变系统的解。讨论可控性与可观测性的矩阵秩判据。 第14章：数值稳定性与误差分析（Numerical Stability and Error Analysis）： 这是一个关键的实践章节。讨论病态矩阵（Ill-Conditioned Matrices）的概念，条件数的重要性，以及如何通过预处理（Preconditioning）技术来改善迭代求解器的性能。 第五部分：前沿专题选讲（Selected Topics in Advanced Applications） 此部分提供对更前沿、跨学科领域的简要介绍，旨在激发读者的进一步研究兴趣。 第15章：张量代数基础（Foundations of Tensor Algebra）： 介绍张量作为高阶数组的表示，以及张量分解（如CP分解、Tucker分解）在复杂数据建模（如多维图像处理、神经科学数据分析）中的作用。 第16章：代数在机器学习中的新兴作用（Emerging Role of Algebra in Machine Learning）： 探讨矩阵乘法在深度学习（如卷积操作的矩阵化）、自动微分（基于链式法则的向量化）中的核心地位。 本书特色： 1. 应用导向： 每一理论概念的引入都伴随着至少一个具体的、源自真实世界（如通信、编码、密码学或工程控制）的实例解析。 2. 算法驱动： 大量章节提供了伪代码和算法描述，强调计算实现步骤而非纯粹的理论推导，便于读者将其转化为编程实践。 3. 数学工具的系统整合： 本书成功地将经典线性代数、抽象代数和数值分析的工具进行有机整合，为读者提供了一个统一的、强大的数学建模框架。 《现代应用代数》是理工科学生深入理解现代计算科学与工程的必备工具书，其深度和广度确保了读者不仅能“会用”这些工具，更能“理解”它们在特定问题下的适用性和局限性。

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