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出版者:Springer

作者:K.E. Hirst

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:2005-9-14

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781852339401

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• 微积分
• 微积分
• 单变量
• 高等数学
• 数学分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 数学
• 教材

《微分几何基础：曲率、拓扑与黎曼流形》 一部深入探索空间结构本质的权威著作 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的框架，用以理解和运用微分几何的强大工具，解析多维空间和曲面现象的内在规律。我们聚焦于从经典曲面理论过渡到现代黎曼几何的桥梁，强调几何直觉与分析工具的有机结合。 目标读者： 本书适合具有扎实的单变量和多变量微积分基础，并对拓扑学和线性代数有基本了解的研究生、高年级本科生以及希望系统掌握现代几何分析工具的研究人员。 核心内容与结构： 本书分为六个主要部分，循序渐进地构建起完整的理论体系： --- 第一部分：平面曲线与曲面的度量基础 (The Metric Foundations of Curves and Surfaces) 本部分是理解后续所有几何概念的基石。我们不再将空间视为欧几里得空间中的特例，而是着眼于如何在任意可微流形上定义距离和角度。 1. 曲线的内蕴几何： 参数化与无参数表示： 重新审视平面曲线，引入弧长参数化，并探讨其不变性。 曲率与挠率的经典定义： 通过 Frenet-Serret 公式系统地建立起曲线在三维空间中的局部弯曲和扭转度量。重点分析何种几何性质（如曲率）可以独立于特定的坐标系而存在。 测地线概念的初步引入： 在曲线上定义“最短路径”，为后续在曲面上的推广做铺垫。 2. 曲面的第一、第二基本形式： 切空间与法空间： 在每个点上精确定义切空间，这是进行局部微分运算的必要环境。详细讨论如何通过参数化曲面导出切向量。 第一基本形式（度量张量）： 建立曲面上的内积结构。深入分析第一基本形式如何决定曲面上的长度、角度和面积元素。重点探讨在曲面坐标系下，度量张量 $g_{ij}$ 的具体形式及其对称性。 第二基本形式与形状算子： 引入曲面的法向量场，并定义第二基本形式，它衡量了曲面偏离切平面的程度。详细推导形状算子（Weingarten Map）的矩阵表示，并分析其特征值与曲率的关系。 主曲率与高斯曲率的计算： 明确主曲率的物理意义，并利用高斯绝妙定理（Theorema Egregium）证明高斯曲率 $K$ 仅依赖于第一基本形式，从而成为曲面的内禀不变量。 --- 第二部分：流形的概念与光滑结构 (Manifolds and Differentiable Structures) 本部分将几何研究的范围从 $mathbb{R}^3$ 中的曲面推广到抽象的 $n$ 维流形。 3. 拓扑流形的建立： 拓扑空间回顾： 简要回顾紧致性、连通性和分离性公理。 流形的定义： 严格定义光滑流形，包括拓扑基础、开复盖、以及最关键的——图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）。强调转移映射的光滑性是定义微分结构的关键。 重要实例分析： 详细分析球面 $S^n$、环面 $T^2$ 以及射影空间 $mathbb{RP}^n$ 的图册构造，特别是球面上的非平凡拓扑特性。 4. 张量场与向量场： 张量场的定义： 定义向量场、余向量场以及更一般的 $(k, l)$ 型张量场，并讨论它们在局部坐标系下的变换律。强调张量是几何对象，其定义独立于坐标系。 流的生成与李导数： 引入向量场生成的时间流，并定义李导数（Lie Derivative）。分析李导数在保持流形结构、度量或其它几何对象不变性方面的作用。 --- 第三部分：微分形式、外微分与积分 (Differential Forms, Exterior Calculus, and Integration) 本部分侧重于发展用于积分和拓扑分析的分析工具，这是现代几何的核心语言。 5. 楔积与微分形式： 多重线性代数回顾： 简要复习张量积和反对称张量（楔积）。 $k$-形式的定义： 定义微分 $k$-形式作为光滑函数的“带符号的体积元素”。重点关注 $k$-形式在坐标系下的具体表达式。 外微分算子 $d$： 严格定义外微分 $d$，并证明其基本性质，特别是 $d circ d = 0$ (Poincaré's Lemma 的局部版本)。 6. 德拉姆上同调与广义斯托克斯定理： 积分与定向： 讨论在带定向流形上对微分形式的积分。 广义斯托克斯定理： 给出该定理的精确表述：$int_{partial M} omega = int_{M} domega$。详细展示它如何统一了微积分中的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯散度定理、斯托克斯定理）。 德拉姆上同调的引入： 基于 $d^2=0$，定义闭形式（Closed Forms）和正合形式（Exact Forms），进而构造德拉姆上同调群 $H^k(M)$。简要讨论上同调如何揭示流形的拓扑结构（例如，在环面上 $H^1$ 的非平凡性）。 --- 第四部分：黎曼流形：内禀度量 (Riemannian Manifolds: The Intrinsic Metric) 本部分将第一部分的度量概念提升到流形的一般情形，引入黎曼度量。 7. 黎曼度量的构造与属性： 黎曼度量张量： 在流形上定义一个处处正定的二次型，即黎曼度量 $g$。讨论 $g$ 如何赋予切空间一个内积，从而定义长度和角度。 协变导数（Connection）： 解释向量场在流形上的“平行移动”问题，引出需要一个无挠率（Torsion-free）的线性联络 $ abla$ 来定义协变导数。 列维-奇维塔联络： 证明对于任何黎曼度量 $g$，存在唯一的（无挠率且度量兼容的）列维-奇维塔联络。 8. 测地线与曲率的内禀性： 测地线方程： 利用 $ abla$ 定义测地线（平行于自身的曲线），并推导出测地线方程。强调测地线是黎曼流形上“最短路径”的内禀推广。 黎曼曲率张量： 利用协变导数定义黎曼曲率张量 $R(X, Y)Z$。详细分析其代数性质（反称性、第一和第二 Bianchi 恒等式）。 截面曲率与里奇曲率： 定义截面曲率 $K(sigma)$（曲率在二维平面上的表现）和里奇曲率 $ ext{Ric}(X, Y)$（曲率对更高维度的平均效应）。 --- 第五部分：联络的几何应用与拓扑联系 (Geometric Applications of Connections) 本部分探讨曲率如何影响向量场的行为，以及与经典微分几何的联系。 9. 曲线与曲面的测地曲率： 内蕴的测地曲率： 在黎曼流形上嵌入的曲线的测地曲率定义，以及它与 Frenet 体系中曲率的关系。 高斯绝妙定理的推广： 利用黎曼曲率张量，精确计算曲面上的高斯曲率 $K$，巩固其内禀不变量的地位。 10. 物质的演化：极值原理与作用量： 能量泛函： 定义曲线上能量的泛函 $E(gamma) = frac{1}{2} int ||dot{gamma}||^2 dt$。 变分法与测地线： 应用欧拉-拉格朗日方程证明测地线是能量泛函的临界点。这为物理学中的最小作用量原理提供了几何基础。 --- 第六部分：几何结构与拓扑的交互 (Interplay between Geometry and Topology) 本部分选取几个关键主题，展示黎曼几何在拓扑学中的深远影响。 11. 黎曼度量的存在性与结构： 庞加莱-伯克霍夫定理回顾： 简要提及在特定条件下几何结构如何决定拓扑。 拓扑的限制： 讨论某些拓扑性质如何限制了可能的黎曼度量（例如，欧拉示性数与高斯-博内定理的联系）。 12. 实例分析：球面几何与常曲率空间： 常曲率流形： 详细分析截面曲率为常数 $c$ 的流形（如：欧几里得空间 $c=0$、球面 $c>0$、双曲空间 $c<0$）。 几何的局部与整体： 通过球面上的测地线（大圆）示例，展示几何结构如何影响流形的整体连通性和可观测性。 --- 本书特色： 强调内禀性： 始终将重点放在那些独立于外部嵌入空间的几何量（如曲率、测地线）上。 清晰的分析基础： 确保读者对张量分析和微分形式有足够的掌握，为进入更高阶的几何研究（如纤维丛、规范场论）做好准备。 丰富的几何直觉： 通过大量二维曲面的具体例子，帮助读者建立起高维抽象概念的直观图像。 《微分几何基础》不仅仅是一本关于计算的书，更是一部关于空间、度量和内在几何本质的深度哲学探讨。

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简易，细致。前半部分都是基础数学的知识，慢慢过渡到单变量的微积分。很适合作为高中毕业后预习微积分的自学教材。

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