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出版者:Springer Verlag

作者:Kurdila, Andrew J./ Zabarankin, Michael

出品人:

页数:228

译者:

出版时间:

价格:109

装帧:HRD

isbn号码:9783764321987

丛书系列:

图书标签:

• 凸分析
• 泛函分析
• 优化
• 数学
• 应用数学
• 理论
• 高等教育
• 学术
• 数学分析
• 凸优化

泛函分析与凸集理论的交汇：一本聚焦现代应用的书籍 书名： 《拓扑向量空间中的凸性与几何学》 内容简介： 本书深入探讨了在拓扑向量空间背景下，凸集理论的深层结构、相关函数类及其在现代数学分析中的应用。不同于传统泛函分析侧重于算子理论和谱理论的叙述，本书将核心焦点置于对“形状”和“边界”的几何刻画，特别是在无限维空间中，这些概念如何与连续性、紧致性和可分离性等拓扑性质相互作用。 本书的结构旨在构建一个坚实的理论基础，同时紧密围绕现代优化、变分法和无穷维几何的实际需求展开。内容组织遵循从基础结构到高级应用逐步深入的逻辑，确保读者能够系统地掌握这一跨学科领域的精髓。 第一部分：拓扑向量空间基础与凸集拓扑 本部分首先回顾了必要的拓扑向量空间（TVS）的背景知识，包括局部凸性、半范数、超平面、拓扑对偶空间等基本工具。随后，我们将立即进入凸集理论在这些空间中的具体表现。 我们将详细分析凸集在TVS中的拓扑性质。这包括对闭凸集、开凸集、原凸集（原锥）的精确刻画。重点讨论了Hahn-Banach分离定理的几何解释及其在TVS中的推广——特别是关于超平面分离凸集和分离凸集与点之间的关系。我们不满足于仅在巴拿赫空间中讨论这些定理，而是将其置于更广阔的Fréchet空间乃至更一般的TVS中进行考察，探讨强拓扑与弱拓扑下分离性质的差异。 此外，本部分对支撑函数（Support Functions）的概念进行了详尽的阐述。支撑函数被视为将一个凸集与其对偶空间中的线性函数联系起来的桥梁，它是凸分析的核心工具。我们将推导出支撑函数的性质，并展示如何利用它来刻画凸集的紧致性（例如，利用Mazur定理的推广）。 第二部分：凸函数与变分原理 在建立了凸集的几何基础后，本书转向研究凸函数。在TVS中，凸函数的定义自然延伸，但其性质（如连续性、可微性）的条件变得更为精细和复杂。 我们将详细分析下半连续凸函数的性质。与有限维空间不同，在无限维空间中，凸函数不一定连续。本书将深入探讨单调算子理论的基础，并展示如何利用它来刻画凸函数的次微分（Subdifferential）。次微分被视为凸函数在某一点的“最佳线性逼近”的集合，它在变分问题的求解中起着决定性作用。我们将讨论Moreau-Rockafellar定理的推广，阐明一个函数是凸函数当且仅当其次微分是闭凸集，以及次微分与共轭函数之间的Fenchel对偶关系。 本部分的核心在于凸分析中的对偶性原理。我们将从变分问题的角度引入Fenchel 变换（共轭函数），并系统地研究其代数和拓扑性质。我们将证明在适当的拓扑假设下（例如，在局部凸空间中），函数与其共轭函数的复合等于自身（Fenchel闭性），并探讨这种对偶性在最优控制、规划问题中的应用。 第三部分：无穷维空间的几何结构与特殊凸集 第三部分将本书的焦点进一步导向几何结构和特定类型的凸集，这些结构在微分几何和概率论中至关重要。 首先，本书对极点集（Extreme Points）的结构进行了深入分析。在巴拿赫空间中，我们讨论Kreīn-Milman定理的意义，即一个紧凸集可以被其极点的闭凸包所生成。在更一般的TVS中，极点的定义和性质面临拓扑挑战，本书将探讨在弱拓扑下的极值点概念，并分析Choquet定理在某些函数空间中的应用，特别是关于Borel测度和极值测度的关系。 其次，本书专题讨论了凸锥（Convex Cones）。凸锥在偏序结构、变分不等式和稳定性分析中扮演关键角色。我们将详细研究支撑锥（Polar Cones），它们是凸锥的对偶概念，与分离理论紧密相关。此外，本书将引入Morrey空间或Sobolev空间等具有特定拓扑结构的函数空间，并在这些空间中分析凸集的几何性质，例如，这些空间中闭凸集的极值点是否具有良好的正则性。 第四部分：应用实例：凸性在分析中的体现 最后，本书将理论知识应用于现代分析学的具体领域，展示凸分析作为一种统一框架的强大能力。 我们将考察变分不等式（Variational Inequalities）问题，这类问题在流体力学和金融定价中非常普遍。我们展示如何利用Lax-Milgram定理的凸性版本（布劳威尔不动点定理的推广）以及次微分理论来证明解的存在性。 此外，本书还将探讨凸规划（Convex Programming）在无穷维空间中的推广，包括对KKT条件的分析。我们讨论在函数空间中如何定义约束集，以及在满足一定的约束规整性（Constraint Qualification）下，局部最优解如何退化为全局最优解。 本书的叙述风格严谨而清晰，力求在保证数学严密性的同时，提供足够的直观几何解释。它期望为致力于深入研究非线性泛函分析、无穷维优化以及现代微分几何的数学家、工程师和理论物理学家提供一个全面而深入的参考资料。本书要求读者具备扎实的实分析和基础泛函分析知识，但并不预设读者对凸分析有先验了解。

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