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出版者:Springer Verlag

作者:Conlon, Lawrence

出品人:

页数:436

译者:

出版时间:2001-4

价格:$ 67.74

装帧:HRD

isbn号码:9780817641344

丛书系列:Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher

图书标签:

• 数学
• 微分流形
• 流形
• 拓扑
• 几何
• 数学
• 高等数学
• 微分几何
• 代数拓扑
• 分析
• 数学分析

《拓扑学基础与现代应用》 简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的拓扑学基础知识体系，并着重探讨其在现代数学与其他学科中的广泛应用。内容从最基础的拓扑空间定义出发，逐步过渡到更抽象和专业的概念，旨在帮助读者建立坚实的理论框架，并理解拓扑学如何作为连接不同数学分支的桥梁。 全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解需求。我们避免了对某些特定、高度专业的微分几何分支的深入探讨，而是将重点放在拓扑学的核心概念、基础结构以及其在代数拓扑、几何分析等领域的经典应用上。 第一部分：拓扑空间的基本概念 本部分构筑了整个拓扑学大厦的地基。我们从集合论中的开集、闭集和邻域的概念出发，引入拓扑空间的正式定义。这一基础概念的建立，使得我们可以用一种比度量空间更为广阔和灵活的方式来研究空间的“接近性”。 我们将详细阐述拓扑空间中的基本结构： 连续函数（映射）： 探讨拓扑学中最核心的操作——拓扑保持的映射。分析其在不同拓扑结构下的性质，如开集的像与闭集的原像。 子空间、商空间与积空间： 学习如何从已有的拓扑空间构造新的、结构更复杂的空间。商空间的构造尤其重要，它体现了如何通过等价关系来“收缩”空间，是理解代数拓扑中同调群构建的基础。 分离公理（T1, T2, T3, T4）： 详细区分和辨析这些公理体系的意义。霍斯多夫空间（T2）的重要性将被着重强调，因为它保证了序列的极限是唯一的，是后续讨论收敛性与紧致性的必要前提。 第二部分：拓扑空间的性质 在掌握了基本框架后，本部分聚焦于描述拓扑空间内在属性的几个关键性质：紧致性、连通性与可数性。这些性质不仅是研究空间的固有特征，也是许多分析和几何定理成立的先决条件。 紧致性 (Compactness)： 我们将采用开覆盖的定义来阐述紧致性，并证明其等价于序列紧致性（在度量空间中）和林德勒夫性质（在可数基空间中）。紧致性在函数空间理论和泛函分析中扮演着至关重要的角色。 连通性 (Connectedness)： 区分路径连通性与连通性。探讨连通空间的分解，以及它们如何影响函数图像的结构。 可数性与基 (Countability and Bases)： 介绍可数基的概念，并解释为何它是连接点集拓扑与度量空间的关键。我们将分析第一可数、第二可数空间的特性及其在收敛理论中的应用。 第三部分：连续形变与同伦 本部分是拓扑学走向“代数化”的开端，引入了研究空间“洞”和“连通性”的强有力工具——代数拓扑的初步概念。 形变收缩与形变收缩（Deformation Retraction）： 解释如何判断两个拓扑空间是否在拓扑意义上是“等价”的。形变收缩的概念为理解同伦提供了直观的几何模型。 基本群（Fundamental Group）： 详尽介绍如何构造基于一个选定基点的路径群。基本群是第一个计算出的拓扑不变量，用于区分具有不同“一维洞”的空间，例如圆盘与圆周。我们将计算几个经典空间（如圆周 $S^1$、环面 $T^2$）的基本群。 第四部分：同调理论的入门 本部分系统地介绍了同调论的基础概念，这是现代拓扑学中用于分类空间的强大代数工具。我们着重于组合化的处理方式，以期为读者理解更复杂的奇异同调理论打下基础。 链复形与边界算子： 介绍如何通过构建链复形来形式化地描述空间的结构和“洞”。边界算子（Boundary Operator）的性质是理解同调群计算的核心。 同调群的构造： 基于链复形，我们定义了同调群 $H_n(X)$，并解释了它如何测量空间 $X$ 在 $n$ 维上的拓扑“洞”。 经典应用：欧拉示性数与布劳威尔不动点定理的拓扑证明： 展示如何利用低维同调群（特别是 $H_0$ 和 $H_1$）计算欧拉示性数。最后，我们将展示如何利用拓扑工具（如对偶性原理）简洁地证明布劳威尔不动点定理的二维与更高维版本。 第五部分：拓扑学的现代视角 最后一部分将目光投向更广阔的领域，展示拓扑学作为一种“结构”语言在其他数学分支中的体现。 度量空间与完备性： 回顾度量空间的概念，并将其置于拓扑学的背景下。讨论完备性的重要性，特别是在分析学中解决不动点问题的应用（如巴拿赫不动点定理）。 流形的概念预览（非微分部分）： 虽然本书不深入微分几何，但会引入“流形”作为一种局部具有欧几里得空间结构的拓扑空间的概念。我们将重点讨论拓扑流形的定义、嵌入定理的直观意义，以及区分不同维度的拓扑流形的困难。 本书特色 本书的重点在于构建一个清晰、自洽的拓扑学知识体系，避免了对微分结构或复杂的代数工具的过度依赖，使得初学者能够扎实掌握点集拓扑的核心理论。习题设计兼顾理论验证与计算实践，旨在培养读者利用拓扑思维解决问题的能力。通过本书的学习，读者将能够理解拓扑学作为连接几何、分析和代数的基础科学地位。

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