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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Hunter, John K.

出品人:

页数:440

译者:

出版时间:

价格:$ 133.34

装帧:HRD

isbn号码:9789810241919

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《应用数学方法在科学与工程中的前沿进展》 本书旨在深入探讨一系列经过精心挑选的、在现代科学与工程领域具有深远影响的应用数学方法。我们聚焦于那些能够直接解决复杂实际问题、推动技术创新以及深化基础科学理解的前沿数学工具与理论。全书结构严谨，内容详实，理论推导与实际应用并重，力求为广大读者，特别是对数学在各个学科交叉领域应用感兴趣的研究人员、工程师、高级研究生的读者提供一份权威、全面的参考。 第一部分：偏微分方程的数值解析与应用 偏微分方程（PDEs）是描述自然界和工程领域中各种连续现象的基石。从流体力学中的纳维-斯托克斯方程，到热传导、波动传播，再到电磁学和量子力学，PDEs无处不在。本部分将重点介绍求解这些方程的强大数值方法，并展示它们在不同领域的成功应用。 有限元方法 (FEM) 的深入解析： 我们将从最基本的概念出发，逐步深入到高阶有限元、自适应网格细分以及处理复杂几何形状和边界条件的技巧。内容将涵盖单元类型的选择、形函数（shape functions）的构造、弱形式（weak formulation）的建立、离散化误差的分析以及收敛性证明。我们将通过具体的例子，例如结构力学中的应力分析、传热问题以及电磁场模拟，来阐述FEM的实际操作流程和效果。此外，还将讨论面向并行计算的FEM算法设计。 有限差分方法 (FDM) 的最新进展： FDM作为一种直观且高效的离散化技术，在许多工程模拟中仍然扮演着重要角色。本部分将介绍不等距网格、高阶精度格式以及隐式和显式时间积分方案的详细分析。我们将深入探讨稳定性与精度之间的权衡，以及如何处理复杂边界条件和源项。针对非结构化网格上的FDM（例如，在处理不规则区域时），也将进行探讨。应用案例将涵盖计算流体力学（CFD）中的边界层流动模拟、地震波传播以及金融数学中的期权定价模型。 谱方法及其在特定问题中的优势： 谱方法通过使用全局基函数（如傅里叶级数或切比雪夫多项式）来逼近解，在求解具有光滑解的PDEs时能获得极高的精度。本部分将详细介绍伪谱法（pseudospectral methods）和谱元法（spectral element methods），并重点讨论其在光滑流体流动、线性稳定性分析以及天体物理模拟等领域的应用。我们将分析谱方法的收敛速度，并探讨其在处理周期性边界条件时的优势。 高维PDEs的求解策略： 随着科学研究的深入，许多问题需要求解高维度的PDEs，这给传统的数值方法带来了巨大的挑战。本部分将介绍一些新兴的、专门用于处理高维问题的技术，例如多重网格方法（multigrid methods）、基于张量分解的方法（如Tensor Train, Matrix Product States）以及利用机器学习技术（如物理信息神经网络 PINNs）来逼近PDEs的解。我们将详细讨论这些方法的原理、计算复杂度以及潜在的应用场景，如化学反应动力学、多粒子系统模拟和复杂系统的预测模型。 第二部分：优化理论与算法在决策与控制中的应用 优化是科学与工程领域中一个极其重要的分支，它涉及到在给定约束条件下寻找最优解。无论是资源分配、系统设计，还是参数估计，优化都发挥着核心作用。本部分将系统介绍经典的优化理论，并重点展示其在现代工程决策与控制问题中的前沿应用。 凸优化理论及其在工程设计中的应用： 凸优化问题具有全局最优解，且易于求解。本部分将深入讲解凸集、凸函数、对偶理论、KKT条件等核心概念，并重点介绍求解凸优化问题的经典算法，如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法、内点法等。我们将通过工程实例，如通信系统中的功率分配、鲁棒控制器的设计、机器学习中的模型训练以及信号处理中的稀疏恢复，来展示凸优化在这些领域的强大威力。 非线性优化方法及其在复杂系统建模中的作用： 许多实际问题中的目标函数或约束条件是非线性的，这使得求解变得更加困难。本部分将介绍全局优化算法，如模拟退火、遗传算法、粒子群优化等，以及局部优化算法，如序列二次规划（SQP）、增广拉格朗日法等。我们将分析这些方法的优缺点、收敛性质以及适用范围。在应用层面，我们将展示非线性优化在机器人路径规划、航空航天器姿态控制、材料科学中的晶体结构优化以及生物信息学中的蛋白质折叠模拟等方面的应用。 大规模优化问题与分布式算法： 随着数据规模和问题复杂度的不断增加，如何高效地求解大规模优化问题成为一个亟待解决的挑战。本部分将探讨分布式优化算法，如随机梯度下降（SGD）及其变种（Adam, RMSprop）、ADMM（交替方向乘子法）等，并分析它们在分布式机器学习、大规模网络优化以及物联网数据处理等场景中的应用。我们将深入讨论通信效率、收敛速度以及处理异构计算环境的策略。 随机优化与不确定性下的决策： 现实世界中充满了不确定性，如何在这种不确定性下做出最优决策是实际工程中普遍面临的问题。本部分将介绍随机优化技术，包括场景法、鲁棒优化以及机会约束优化等。我们将展示这些方法如何应用于金融风险管理、供应链优化、能源系统调度以及自动驾驶汽车的路径规划等领域，以应对模型参数的不确定性、外部环境的变化以及传感器数据的噪声。 第三部分：数学建模与数据驱动方法的融合 在当今大数据时代，单纯依赖数学模型或纯粹的数据驱动方法都难以完全捕捉复杂系统的本质。本部分旨在探讨如何将传统的数学建模思想与现代数据驱动技术相融合，以期获得更强大、更鲁棒的分析和预测能力。 基于模型的数据同化技术： 数据同化是结合数学模型和观测数据，以获得对复杂系统状态的最佳估计的过程。本部分将介绍几种主流的数据同化方法，包括卡尔曼滤波（及其扩展形式如EKF, UKF）、集合卡尔曼滤波（EnKF）以及变分法（4D-Var）。我们将深入分析这些方法的原理、计算效率以及在气象预报、海洋学研究、地球物理勘探以及生物过程建模中的具体应用。 机器学习在科学模型校准与验证中的应用： 机器学习技术，特别是监督学习和无监督学习，在分析和理解大量科学数据方面展现出巨大潜力。本部分将探讨如何利用机器学习方法来校准模型参数、评估模型性能、识别模型中的偏差以及发现新的科学规律。我们将重点关注诸如支持向量机（SVM）、随机森林、神经网络（特别是深度学习）等技术，并结合具体案例，如气候模型的参数化方案优化、材料性能预测以及高能物理实验数据的分析。 物理信息神经网络 (PINNs) 的理论与实践： PINNs是一种新兴的、将物理定律直接嵌入神经网络训练过程中的方法。本部分将详细阐述PINNs的构建原理，包括如何利用微分算子来定义损失函数，以及如何处理各种类型的边界和初始条件。我们将展示PINNs在求解常微分方程、偏微分方程、反问题求解以及发现未知物理方程方面的独特优势，并提供实际代码实现和应用范例，例如流体力学问题的无网格模拟、传热问题求解以及材料科学中的固支梁弯曲分析。 因果推断在科学研究中的应用： 传统的统计分析通常关注相关性，而因果推断则致力于探究变量之间的因果关系。本部分将介绍因果推断的基本概念，如潜在结果框架、平均处理效应（ATE）等，并探讨如何利用数据分析方法，如倾向性得分匹配、工具变量法、因果图等，来识别和量化因果效应。我们将展示因果推断在流行病学研究、社会科学、经济学以及精准医疗等领域的应用，帮助研究人员更深入地理解复杂系统的运行机制。 本书的每一章节都力求做到内容翔实、逻辑清晰，并配以大量的图表和例证。我们希望通过本书的阅读，读者能够深刻理解这些先进的应用数学方法，并能够将其灵活运用到各自的研究和工程实践中，从而推动科学与技术的进步。

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翻开这本《Applied Analysis》，一股浓厚的学术气息扑面而来，它给我的感觉就像是翻阅一本上世纪中叶的经典教材，那种未经现代排版美化的、专注于内容的纯粹感令人印象深刻。书中大量的篇幅被分配给了傅里叶分析在函数空间上的推广以及希尔伯特空间理论的进一步延伸。我最花时间攻克的是关于$L^p$空间上算子有界性的讨论，作者采用了相当基础的构建方法，从单调收敛定理和优控制定理出发，步步为营地推导出更复杂的结论。这种由下至上的构造方式，虽然逻辑清晰，但对于习惯了从现有框架直接切入的现代读者来说，可能会觉得前期铺垫过长。书中没有出现任何关于数值模拟或者计算机代数系统的影子，所有的论证都停留在纯粹的解析层面。例如，关于不动点定理的应用，作者聚焦于Banach不动点定理在常微分方程解的唯一性与存在性证明中的经典应用，而非现代迭代算法的收敛性分析。这使得这本书的应用价值更偏向于对现有理论的深入理解和证明技巧的学习，而不是直接解决实际工程中的近似计算问题。我必须承认，它的深度是毋庸置疑的，但这种深度是以牺牲易读性和即时应用反馈为代价的。

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这本书的结构布局展现出一种高度的模块化，每个章节都像是精心雕琢的数学宝石，彼此之间有着清晰的逻辑连接，但又可以独立存在。我印象最深的是它对分布理论（Theory of Distributions）的处理方式，作者非常谨慎地定义了测试函数空间，并以此为基础构建了广义导数的概念，这部分的讲解逻辑严密到令人窒息。与市面上其他涉及此主题的书籍不同，它极少使用图解来展示分布函数的卷积操作，一切都依赖于积分的极限过程和收敛性的保证。这对于那些依赖视觉辅助来理解抽象概念的读者来说，是一个不小的挑战。我发现自己经常需要在草稿纸上画出不同类型的函数图像，试图在脑海中重构作者笔下那些抽象的收敛路径。这本书的写作风格趋向于“数学证明的艺术”，而非“知识的传授”。它更像是作者在向你展示如何通过最简洁、最优雅的数学语言来表达最深刻的数学真理。因此，对于渴望快速掌握分析工具箱的读者，这本书可能显得过于“慢热”和“学术化”；但对于追求数学内在美感和形式完美的人来说，这无疑是一场精神盛宴。

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总的来说，这本《Applied Analysis》给我带来的体验是既敬畏又有些许挫败感交织的情绪。它似乎将应用分析中最核心、最难以捉摸的部分——即现代概率论与随机过程的分析基础——放在了一个极其突出的位置进行阐述。我花了最大的力气去理解它关于鞅论（Martingale Theory）在分析框架中的基础作用，特别是如何利用其不等式来证明特定随机变量的 $L^p$ 范数有界性。作者的叙述方式非常注重细节的累积，每一个小小的结论都可能成为后续复杂定理的关键引理。这本书的缺点在于，它似乎完全假设读者已经掌握了概率论的基础知识，导致在引入随机分析工具时，没有进行任何复习或回顾，直接就将其嵌入到泛函分析的语境中。这使得如果你的随机过程知识稍有松动，那么后面的内容就会变得异常晦涩。这本书更像是一本为那些已经熟练掌握了经典分析，并希望将分析的严谨性延伸到随机世界的高级研究者准备的深度导论。它对“应用”二字的诠释，更侧重于对分析学自身在新领域扩展的理论支持，而非具体工程问题的解决方案。

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我最近读完了这本名为《Applied Analysis》的数学专著，说实话，这本书给我的感觉是相当复杂和深刻的。它不像我以前接触过的那些应用数学书籍那样，直接给出具体的工程或物理应用案例，而是更倾向于从纯粹的数学结构入手，探讨分析学在更广阔、更抽象的层面上是如何运作的。作者似乎花了大量的篇幅在深入挖掘泛函分析和测度论的底层逻辑上，试图构建一个极其严谨的理论框架。初读时，我感觉自己像是在攀登一座理论的高峰，每一步都需要极度的专注和对先前定义的精确理解。比如，关于Sobolev空间的处理，讲解得非常详尽，涉及到各种嵌入定理和紧凑性结果，这些内容对于初学者来说可能门槛极高，需要反复查阅前几章的定义才能跟上思路。这本书的优点在于其无与伦比的严谨性，每一个定理的证明都力求无懈可击，让人对结果的正确性深信不疑。然而，这也带来了阅读上的挑战，因为它很少提供直观的解释或比喻来辅助理解。我花了大量时间去消化那些抽象的符号和复杂的拓扑概念，感觉自己更像是在进行一场智力上的马拉松，而不是一次轻松的阅读之旅。整体而言，这是一本需要读者具备扎实数学背景，并愿意投入大量时间进行深度思考的书籍。它更像是一本供研究人员或高阶学生深入钻研基础理论的参考手册，而非一本面向广泛应用领域的入门读物。

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这本书的叙事风格极其古典且内敛，仿佛作者是在向一位经验丰富的同行者阐述他长久以来的思考结晶。它不太使用时下流行的图表或色彩鲜明的插图来辅助理解复杂的积分方程或偏微分方程的解的存在性问题。相反，全书几乎完全依赖于文字和严密的数学符号序列来构建知识体系。我特别注意到，作者在引入新概念时，往往会追溯到更基本的拓扑空间或度量空间性质，这使得理论的根基非常稳固，但也使得叙述节奏显得比较缓慢。比如，在讨论变分法与最优控制的联系时，作者并没有直接跳到拉格朗日乘子法，而是花了好几章篇幅来细致地探讨凸集分析和凸函数性质，这在一定程度上削弱了对那些急于看到应用结果的读者的吸引力。我个人认为，这本书的价值在于其对数学核心概念的“哲学性”探讨，它迫使读者停下来思考“为什么是这样”而不是仅仅记住“如何做”。我花了数周时间才勉强理清了其中关于紧算子谱理论的部分，那里对Riesz理论的阐述细致入微，展现了作者深厚的学术功底。如果你的目标是构建一个坚实、无懈可击的理论框架，那么这本书无疑是一座宝库，但若你只是想快速掌握某项技术并应用于工程实践，这本书的“慢节奏”可能会让你感到不耐烦。

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太混乱了

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大概扫过, 总觉得谱的部分讲的好像不是很清楚...

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