Elementary Algebraic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Kendig, K.

出品人:

页数:309

译者:

出版时间:1977-6

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780387901992

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 代数几何7
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《几何的初探：从线性到抽象的视觉语言》 本书旨在为读者构建一套严谨且富有洞察力的几何学认知框架，从最基础的代数工具出发，逐步揭示几何图形背后的深刻数学结构。我们将一起踏上一段探索几何本质的旅程，体验代数与几何如何交织，共同描绘出丰富多彩的数学世界。 第一部分：几何的基石——代数与坐标的联姻 我们从理解点、线、面这些最基本几何概念在代数中的表现开始。笛卡尔坐标系的引入，是将抽象的数字与直观的几何形状连接起来的桥梁。我们将深入探讨： 点与向量： 如何用有序数组（坐标）来唯一标识空间中的点，并理解向量的线性组合如何代表平移和伸缩，为后续的几何变换奠定基础。 直线与方程： 一元一次方程和二元一次方程组如何精确地描述直线及其交点。我们将学习不同形式的直线方程（点斜式、斜截式、一般式）之间的转换，并理解斜率和截距的几何意义。 平面与方程： 将坐标系扩展到三维空间，二元一次方程如何描绘出平面，以及平面之间的相交、平行关系如何通过方程组来判断。我们将初步接触法向量的概念，理解其在描述平面方向上的作用。 距离与角度： 利用勾股定理和向量内积，我们将学习如何计算点与点之间的距离，直线与直线、直线与平面之间的夹角，以及点到直线、点到平面的距离。这些距离和角度的代数表示，将是我们解决许多几何问题的核心工具。 二次曲线的初探： 圆、椭圆、抛物线和双曲线，这些我们熟悉的二次曲线，将通过其标准的代数方程得到统一的描述。我们将学习如何识别这些方程的类型，并理解方程中的参数如何影响曲线的形状、位置和方向。例如，圆心和半径，椭圆的半长轴和半短轴，抛物线的焦点和准线，双曲线的渐近线等，都将一一解析。 第二部分：代数结构的几何映射——多项式与几何对象的对应 本部分将带领读者超越线性几何，进入更广阔的代数几何领域。我们将看到，许多几何对象，尤其是那些具有曲率和复杂结构的形状，都可以用多项式方程来精确地刻画。 多项式方程与代数曲线： 一个或多个多项式方程的解集，构成了代数曲线和代数曲面。我们将学习如何理解这些方程的几何含义，例如，一个二元多项式方程 $f(x, y) = 0$ 所定义的图像。 交点的计算与性质： 研究两条代数曲线的交点，不仅仅是求解方程组，更重要的是理解交点的数量和性质。我们将初步了解贝祖定理（Bezout's Theorem）的直观思想，即两条 $m$ 次和 $n$ 次代数曲线在射影平面上恰好有 $mn$ 个交点（考虑复数和无穷远点）。 光滑性与奇点： 并非所有的点都“表现良好”。我们将学习如何通过方程的偏导数来判断代数曲线上的光滑点和奇点。奇点是代数曲线中“不寻常”的点，例如尖点、自交点等，它们往往揭示了曲线结构中的关键特征。 代数簇的初步概念： 我们将引入代数簇（Algebraic Variety）这一核心概念。一个代数簇是由一个理想（ideal）定义的零点集。这个抽象的代数概念，对应着几何上的各种对象，从简单的点、直线到复杂的曲面和更高维度的形状。我们将理解理想与几何对象之间的对应关系，这是代数几何的核心思想。 几何变换的代数表示： 线性变换（平移、旋转、缩放、剪切）可以用矩阵乘法表示，那么更一般的几何变换，如仿射变换、投影变换，又该如何用代数工具来描述？我们将探索这些变换如何作用于代数方程，以及它们如何改变几何对象的形状和位置。 第三部分：更抽象的视角——环、理想与几何的深层联系 在更深入的探索中，我们将引入抽象代数中的核心概念，并揭示它们与几何之间深刻而精妙的联系。 环（Ring）与多项式环： 我们将从集合论的角度重新审视数系（整数、实数、复数）以及多项式的集合，理解它们作为代数结构的“环”的定义。特别是多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$，它是代数几何研究的基本场所。 理想（Ideal）与几何对象： 环中的理想，即子集 $I$，满足特定性质：对环中任意元素 $a, b in I$， $a+b in I$；对环中任意元素 $r$ 和 $i in I$， $ri in I$。我们将看到，一个理想 $I$ 的零点集（即所有使得 $I$ 中所有多项式都为零的点集）定义了一个重要的几何对象，称为仿射代数簇。 希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）： 这是代数几何中最重要的定理之一，它建立了多项式理想与其零点集之间的精确对应关系。我们将理解这个定理的含义，它表明我们可以通过研究代数结构（理想）来研究几何对象（零点集），反之亦然。 商环（Quotient Ring）与几何性质： 考虑一个多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 和其中的一个理想 $I$。商环 $k[x_1, dots, x_n] / I$ 是一个重要的代数结构，它承载着由理想 $I$ 定义的代数簇的几何信息。例如，我们可以通过研究商环的性质来判断代数簇是否是“不可约”的，或者计算其“维数”。 簇的态射（Morphisms of Varieties）： 就像函数连接数字一样，态射是连接代数簇的“映射”。我们将学习如何用多项式映射来定义簇之间的态射，并理解态射在几何上的意义，例如，它是否保持了簇的结构。 学习路径与预期收获： 本书的编写风格将注重概念的清晰阐述和直观的几何解释，并通过适量的例题和练习来巩固理解。读者将从最基础的代数运算开始，逐步建立起对线性几何、二次曲线，乃至更抽象代数几何概念的认识。 完成本书的学习后，你将能够： 熟练运用代数工具解决各种几何问题。 深刻理解代数方程如何精确地描述几何对象。 初步掌握代数几何的基本思想和核心概念，如代数簇、理想、零点定理等。 培养抽象思维能力，能够从代数结构中看到几何的本质。 为进一步学习更高级的代数几何、微分几何、拓扑学等数学分支打下坚实的基础。 这是一次关于几何本质的探索，一次关于抽象思维与直观感受的交融。让我们一同开启这段充满发现的旅程。

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对于需要通过习题来巩固学习的读者来说，这本书提供的练习环节几乎是灾难性的。习题的难度跨度极大，从简单的定义验证到需要数周才能解决的研究级问题混杂在一起，完全没有梯度可言。更糟糕的是，许多习题的提示信息极其匮乏，甚至有些题目似乎是直接摘录自某些高级研究论文的推论，要求读者具备远超本书覆盖范围的知识储备才能着手。我尝试做了几道看似基础的计算题，结果发现它们往往依赖于书本中只被提及而未被详细证明的引理。这种设计使得读者无法通过“做题”来检验自己是否真正掌握了核心概念。这本书似乎更侧重于知识的展示，而非知识的习得过程。对于依靠大量的反复练习来建立直觉的理工科学习者而言，这本书提供的反馈机制近乎于零。

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这本书在处理经典代数几何与现代代数几何的交汇点时，显得尤为保守且略显过时。它花费了大量的篇幅去详细阐述一些经典的、基于复流形几何的观点，比如黎曼曲面的构造和一些具体的例子，但在介绍诸如概形论（Schemes）的核心思想时，却显得心有余悸，处理得非常轻描淡写。当我们谈论代数几何的现代基础时，概形理论是不可绕过的基石，但这本书对于如何从代数环结构中自然地导出几何对象的“点”和“结构层”的联系，阐述得含糊不清。这使得我对如何将书中所学的经典工具应用到更具一般性的情境中感到迷茫。感觉作者似乎更偏爱那些可以在复解析函数理论中得到良好解释的特例，而对于那些真正推动了现代代数几何发展的抽象工具，则持有一种敬而远之的态度。这对于希望站在当代数学前沿的读者来说，无疑是一种遗憾。

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这本书的语言风格有一种奇特的疏离感，仿佛作者在与读者进行一场单向的、高高在上的知识传递。它的“优雅”建立在牺牲可读性的基础之上。我注意到，作者频繁使用一些非常专业化、但并非代数几何领域独有的术语，却鲜少用通俗的语言来解释这些术语在特定上下文下的几何意义。例如，描述一个模空间的紧化过程时，使用了大量拓扑学的专有词汇，但却完全没有解释这种紧化如何影响了底层代数结构的性质。这让我在阅读时总有一种“我似乎知道这个词是什么意思，但我不知道它在这里意味着什么”的焦虑感。它要求读者对数学的各个分支都有深厚的积累，才能真正理解作者的意图。对我而言，这本书更像是一次对作者个人知识体系的访问，而不是一本为广大学子量身定做的学习指南。

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阅读体验上，这本书的排版和逻辑结构着实让人头疼。章节之间的过渡生硬得像是在强行连接两个不相关的理论分支。举例来说，从经典的阿贝尔簇理论突然转到奇点理论，中间缺少了关键的桥梁——比如对局部环和维度的深入讨论，让读者很难理解为什么这些看似独立的领域会被放在同一本书里。更令人费解的是，许多关键的定理陈述之后，并没有给出足够详尽的证明细节，而是用“可以从某个已知的更一般的结果推导得出”一笔带过。这种处理方式对于希望真正理解数学原理的读者来说，是极大的阻碍。我必须得承认，书中的某些高级技巧确实很有洞察力，但这些洞察力被埋藏在过于密集的符号和过于简化的解释之下，需要读者具备极强的自我挖掘能力。整体而言，这本书更像是一份高度浓缩的讲义大纲，而不是一本能够独立构建知识体系的教科书。

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这本号称是入门级的代数几何读物，从翻开第一页开始就让我感到了一丝丝的困惑。作者似乎默认读者已经对代数拓扑和交换代数有了非常扎实的基础，大量的概念都是在没有足够铺垫的情况下突然抛出的。举个例子，在介绍射影空间的章节，作者直接跳跃到了向量丛的范畴，对于如何从基础的代数结构自然地构造出这些几何对象，描述得极其跳跃和晦涩。我花了大量时间去查阅其他教材来补齐这些缺失的逻辑链条。对于一个真正的初学者来说，这本书的难度曲线陡峭得令人望而却步。它更像是一本给已经掌握了基础框架的研究生或者博士后提供的“快速参考手册”，而不是一本引人入胜的入门教材。书中大量的图示也显得有些过于简化，未能充分展现抽象概念在具体例子中的直观体现。我期待的是一种循序渐进的引导，但得到的却是一系列高屋建瓴的陈述，让人感觉像是被直接扔进了数学的深海。

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伍洪熙的书里有推荐这本书，真的是极为基础的东西，几乎不用交换代数就可以。

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