Schaum's Outline of Differential Equations, 3rd edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill

作者:Richard Bronson

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2006-6-15

价格:USD 18.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780071456876

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 数学
• Schaum's Outline
• 高等教育
• 工程数学
• 理工科
• 解题指南
• 学习参考
• 数学教材
• 微积分

《微分方程导论》 本书旨在为读者提供一个清晰、系统且深入的微分方程学习体验。内容涵盖了从基础概念到高级应用，为初学者和希望巩固理论的学生提供扎实的数学基础。 第一部分：基础理论与方法 引言与基本概念： 本部分首先引入微分方程的基本定义，区分常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）。我们将探讨方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等重要属性，并介绍解的几何意义，例如斜率场（direction fields）和等倾线（isoclines），这有助于直观理解解的形状和行为。 一阶常微分方程： 这一章是微分方程学习的基石。我们将详细介绍求解一阶常微分方程的各种解析方法： 变量可分离方程： 介绍如何通过分离变量来求解形如 $f(y)dy = g(x)dx$ 的方程。 齐次方程： 讲解如何通过变量替换（如 $y=vx$）将某些方程转化为变量可分离的形式。 线性一阶方程： 重点介绍积分因子法，这是一种通用的求解一阶线性微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$ 的技术。 恰当方程（Exact Equations）： 阐述如何识别和求解形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的恰当方程，以及在非恰当方程情况下的积分因子寻找方法。 伯努利方程（Bernoulli's Equation）： 介绍如何通过变量替换将伯努利方程转化为线性方程进行求解。 应用： 结合实际问题，如人口增长模型、放射性衰变、冷却定律、化学反应速率等，展示一阶微分方程在科学和工程领域的初步应用。 高阶线性常微分方程： 本部分将学习求解阶数大于一的线性微分方程，特别是二阶和更高阶的方程。 二阶常系数齐次线性方程： 重点介绍特征方程法，用于求解具有常数系数的二阶齐次方程 $ay'' + by' + cy = 0$。我们将详细分析特征方程根的不同情况（实根、重根、复根）及其对应的通解形式。 二阶常系数非齐次线性方程： 介绍两种重要的求解方法： 待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）： 适用于当非齐次项（右侧函数）具有特定形式（如多项式、指数函数、三角函数）的情况。 常数变易法（Variation of Parameters）： 这是一种更通用的方法，适用于任何形式的非齐次项。 高阶常系数线性方程： 将上述方法推广到更高阶的线性方程。 降阶法（Reduction of Order）： 当已知一个非齐次方程的一个特解时，如何利用它来找到其他解。 应用： 引入物理系统中的振动问题，如弹簧-质量系统（自由振动、受迫振动、阻尼振动），以及电路分析等。 微分方程组（Systems of Differential Equations）： 线性微分方程组： 介绍求解线性微分方程组的方法，特别是二维和三维的常系数线性系统。 利用特征值和特征向量： 这是求解常系数线性系统的主流方法，我们将详细讲解如何计算特征值和特征向量，并根据其性质确定解的形式。 矩阵指数方法： 引入矩阵指数的概念，为求解线性系统提供一种更简洁的框架。 非线性微分方程组： 简要介绍非线性系统的行为，例如相平面分析（phase plane analysis）的概念，以及稳定性分析（equilibrium points and stability）的重要性。 应用： 模拟多物体相互作用的动力学系统、生态学中的捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra模型）、以及控制理论等。 第二部分：高级主题与方法 级数解（Series Solutions）： 幂级数法： 介绍如何利用幂级数来求解方程在奇点附近的解。我们将讨论普通点（ordinary points）和正则奇点（regular singular points）的情况，并介绍Frobenius方法（Frobenius Method）来求解正则奇点附近的级数解。 贝塞尔方程（Bessel's Equation）与勒让德方程（Legendre's Equation）： 作为重要的特殊方程，我们将探讨它们的级数解，以及由此产生的特殊函数（如贝塞尔函数和勒让德多项式），它们在物理学和工程学中有着广泛的应用。 拉普拉斯变换（Laplace Transforms）： 定义与基本性质： 介绍拉普拉斯变换的定义、线性性质、以及一些关键的变换对（如指数函数、三角函数、阶跃函数等）。 逆拉普拉斯变换： 讲解如何进行逆拉普拉斯变换，以及利用部分分式分解等方法简化计算。 求解微分方程： 重点展示拉普拉斯变换在求解线性常微分方程（尤其是带有初始条件）方面的强大威力，它可以直接将微分方程转化为代数方程，大大简化求解过程。 求解微分方程组： 将拉普拉斯变换的应用扩展到求解线性微分方程组。 卷积定理（Convolution Theorem）： 介绍卷积定理及其在拉普拉斯变换中的应用。 傅里叶级数与傅里叶变换（Fourier Series and Fourier Transforms）： 傅里叶级数： 介绍周期函数的傅里叶级数展开，包括正弦级数和余弦级数。讲解傅里叶级数的收敛性。 傅里叶变换： 将傅里叶级数推广到非周期函数，介绍傅里叶变换的定义、性质以及其在信号处理和偏微分方程求解中的应用。 偏微分方程（Partial Differential Equations - PDE）： 引言与基本方程： 介绍偏微分方程的基本概念，并重点介绍几种重要的方程： 热传导方程（Heat Equation）： 描述热量在物体中的扩散过程。 波动方程（Wave Equation）： 描述波的传播，如弦的振动。 拉普拉斯方程（Laplace's Equation）： 描述稳态电势、流体流动等。 分离变量法： 介绍如何利用分离变量法来求解这些方程在特定边界条件和初始条件下的特解。 其他方法简介： 简要介绍其他求解PDE的方法，如特征线法（method of characteristics）等。 学习目标： 本书旨在帮助读者： 理解微分方程的基本概念、性质和解的几何意义。 掌握求解各类一阶和高阶常微分方程的解析方法。 建立解决微分方程组的框架。 熟悉级数解法和拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。 初步了解偏微分方程的基本类型和求解思路。 能够将微分方程理论应用于解决实际的科学与工程问题。 通过本书的学习，读者将获得一套强大的数学工具，能够分析和解决众多涉及变化率和动态过程的实际问题。

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