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出版者:东北师大

作者:田祥高

出品人:

页数:322

译者:

出版时间:2007-11

价格:15.80元

装帧:

isbn号码:9787560248998

丛书系列:

图书标签:

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现代高等代数基础：理论、方法与应用 第一章 集合与逻辑基础 本章旨在为后续的抽象代数结构的学习奠定坚实的集合论和数理逻辑基础。我们首先从集合的定义、基本运算（并、交、差、补集）及其性质入手，深入探讨笛卡尔积与关系。重点分析等价关系与偏序关系，理解它们在结构划分中的核心作用。随后，引入函数（映射）的概念，详细阐述单射、满射和双射的特性，并讨论函数的复合与反函数。在逻辑方面，本章将详细介绍命题演算，包括连接词（与、或、非、蕴含、等价）的真值表，以及量词（全称量词 $forall$ 与存在量词 $exists$）的引入。我们将探讨证明的基本方法，如直接证明、反证法、数学归纳法，并引入集合的基数概念，为后续的无穷性讨论做铺垫。 第二章 群论入门：代数结构的核心 群是抽象代数中最基本且最重要的代数结构。本章从二元运算的公理出发，定义群的四个基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。我们随后将讨论群的若干基本性质，例如单位元和逆元的存在性和唯一性，以及消去律。接着，引入子群的概念，并利用陪集（左陪集与右陪集）来研究群的内部结构。拉格朗日定理是本章的理论核心，它揭示了子群阶数与群阶数之间的关系。在此基础上，我们将定义正规子群，并阐述商群（因子群）的构造，这是理解同态和同构的基础。最后，本章将探讨循环群的性质，并介绍二面体群等实例，使抽象概念具象化。 第三章 环与域：拓展的运算体系 环是比群结构更丰富的代数结构，它具有两个二元运算，通常称为加法和乘法。本章详细定义环的公理体系，包括加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，并满足分配律。我们区分具有单位元的环（环）、积分域（整环）以及域（Field）。对环的性质进行深入探讨，包括零因子、零除性。子环与环同态的概念被引入，特别是核（Kernel）的性质。接着，我们将重点研究环中的理想（Ideal），它是加法下的特殊子群，对理解商环的构造至关重要。我们将定义主理想、主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD），并介绍素理想与极大理想，这些概念为代数几何和数论奠定了基础。 第四章 线性代数基础：向量空间与变换 本章将视角转向具有加法和标量乘法的代数结构——向量空间。我们首先定义域（自第三章引入）上的向量空间，明确向量、标量、向量加法和标量乘法的要求。子空间、生成集与线性相关、线性无关的概念被严格定义。基（Basis）与维数（Dimension）是理解向量空间结构的关键，我们将证明基的存在性和唯一性。线性变换（或称线性映射）是连接不同向量空间的桥梁，本章详细分析其性质，包括核空间与像空间的维度关系（秩-零化度定理）。最后，我们引入矩阵，阐述矩阵乘法如何表示线性变换，并讨论矩阵的秩、逆矩阵以及矩阵的行列式，为后续的特征值、特征向量分析做准备。 第五章 模论初步：对向量空间的推广 模（Module）是对向量空间的自然推广，它允许标量域替换为一般的环。本章首先介绍模的定义，包括模的加法、标量乘法及其满足的公理。我们将讨论子模、模同态以及模的直和。与向量空间类似，本章也引入了模的基、自由模的概念，但需要强调，与向量空间不同，一般的模不一定有基。我们将讨论模的循环生成性，并介绍挠（Torsion）模的概念。对于具有更强结构的环上的模，例如左R-模，我们将触及射影模和内射模的初步概念，这对于理解更高级的同调代数至关重要。 第六章 域论：代数扩张的几何视角 域论是连接代数与几何的关键领域。本章从扩域（Field Extension）的概念出发，定义扩张的次数 $[E:F]$。我们将深入探讨代数扩张与超越扩张，并严格定义代数元。初等例子包括构造 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 和 $mathbb{Q}(i)$。本章的核心部分是伽罗瓦群（Galois Group）的引入。我们将定义伽罗瓦扩张、伽罗瓦群，并详细阐述伽罗瓦基本定理，该定理建立了域的中间扩张与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系。这一对应关系使我们能够利用群论工具来解决域论问题，例如证明五次及以上代数方程没有通用的根式解（阿贝尔-鲁菲尼定理）。 第七章 线性代数进阶：特征值与规范形 本章回归到向量空间与线性变换的内部结构分析。我们定义特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），并阐述如何通过求解特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$ 来确定它们。本章强调理解特征值和特征向量的几何意义——它们是线性变换作用下方向不发生改变的向量。我们讨论对角化（Diagonalization）的条件：一个线性变换是否可以被对角化，取决于其特征多项式和最小多项式的根以及它们的重数。接着，我们将引入更一般的规范形，如若尔当标准型（Jordan Normal Form）和有理标准型（Rational Canonical Form），它们是任意线性变换在特定基下的“最简”表示，对于求解微分方程组和处理非对角化矩阵至关重要。 第八章 交换环的结构与分解 本章专注于具有交换乘法的环的深入结构分析，重点研究整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 上的结论。我们将重新审视主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD），并引入诺特环（Noetherian Ring）的概念，其链条件是许多分解定理成立的前提。核心内容包括唯一分解的概念在这些环中的体现。对于多项式环 $F[x]$，我们将证明它是一个欧几里得整环，进而也是一个 PID 和 UFD，这直接导致了多项式除法、最大公约式和多项式因式分解的唯一性。此外，本章将初步探讨局部化（Localization）的概念，即通过“形式上”增加分母元素来构造新的环结构。 第九章 有限群的结构理论 本章将群论的知识应用于特定范围——有限群。我们将复习拉格朗日定理，并引入共轭类、中心化子和正规化子的关系。Sylow定理是有限群结构理论的基石，它给出了群中特定阶的子群（Sylow p-子群）的存在性、个数和性质。我们将利用Sylow定理来判断一个有限群是否为可解群，并分析一些特殊的可解群结构，如幂零群。通过对有限交换群（有限阿贝尔群）的结构定理的介绍，我们证明了任何有限阿贝尔群都可以分解为初等循环群的直和，从而完全揭示了有限阿贝尔群的分类。

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