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出版者:高等教育

作者:杨述武

出品人:

页数:242

译者:

出版时间:2007-12

价格:21.80元

装帧:

isbn号码:9787040226218

丛书系列:

图书标签:

• 物理实验
• 普通物理
• 大学教材
• 实验教学
• 物理学
• 理工科
• 高等教育
• 实验报告
• 教学参考书
• 基础物理

好的，这是一份关于一本名为《数学分析导论》的图书简介，内容详实，力求自然流畅，不提及您提到的《普通物理实验》或任何人工智能生成痕迹。 --- 《数学分析导论》图书简介 一、 本书定位与核心理念 《数学分析导论》是一本面向理工科本科生、师范生以及需要扎实数学基础的自学者的教材。本书旨在提供一个全面、严谨且富于启发性的数学分析知识体系的入门框架。我们的核心理念是“直观理解与严格论证并重”。我们深知，初学者往往容易在概念的抽象性上望而却步，因此，本书在引入每一个核心概念时，都力求结合直观的几何意义、物理背景或实际应用实例，以搭建起直观认知与形式化定义之间的桥梁。 本书的编写遵循由浅入深、螺旋上升的原则，从最基本的实数系统出发，逐步攀登至微积分的宏伟殿堂。我们不急于展示最高深的技巧，而是将精力集中于构建坚实的理论基础，确保读者能够真正理解“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。 二、 详细内容结构与章节亮点 本书共分为六大部分，二十章，内容覆盖了传统微积分课程中的所有核心要素，并进行了适当的深化与整合。 第一部分：基础预备与实数系统（第1章至第3章） 第1章：预备知识与逻辑基础 本章回顾了集合论的基本概念、函数、映射以及数学证明的基本方法（如数学归纳法、反证法）。特别地，我们对逻辑连接词和量词的使用进行了细致的梳理，为后续的严格定义打下语言基础。 第2章：实数系统的构造与性质 这是全书的基石。我们从有理数域出发，通过戴德金截法（或柯西序列收敛性）构造了实数集 $mathbb{R}$，并着重讨论了完备性公理（上确界原理）的重要性。本章通过大量习题，巩固读者对实数系统“连续性”的深刻理解，这是后续极限理论成立的前提。 第3章：数列的极限 基于实数系统的完备性，本章严格定义了数列收敛的极限概念 ($epsilon-N$ 语言)。我们详细分析了极限的四则运算法则、有界性、单调收敛定理，并引入了聚点定理和Cauchy收敛准则。这里着重强调了极限定义中 $epsilon$ 和 $N$ 之间的动态关系。 第二部分：函数极限与连续性（第4章至第6章） 第4章：函数的极限 本章将数列极限的概念推广到函数极限。我们严格定义了函数在一点的极限（双边极限、单侧极限），并阐述了函数极限与数列极限之间的关系。重点讨论了“局部性”的概念，即极限只依赖于邻域内的点，而不依赖于函数在该点是否有定义。 第5章：初等函数的极限与无穷小/无穷大 本章聚焦于常用函数的极限计算。系统梳理了指数、对数、三角函数及其反函数的性质和常用极限公式，特别是著名的 $e$ 的定义式 $lim_{x o infty} (1 + 1/x)^x$ 和 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$ 的严格推导。同时，本章引入了高阶无穷小、等价无穷小的概念，为后续的泰勒公式做铺垫。 第6章：函数的连续性 基于函数极限，本章严格定义了函数在一点的连续性。我们深入探讨了连续函数的性质，包括：闭区间上连续函数的有界性与最值定理，以及介值定理。这些定理是分析学中许多重要结论的理论支柱，本书通过几何图形辅助理解这些定理的必要性。 第三部分：微分学基础（第7章至第10章） 第7章：导数的概念与计算 本章引入了瞬时变化率的概念——导数。我们探讨了导数的定义、几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。随后，系统性地推导了求导的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）以及反函数求导法则。 第8章：微分中值定理 这是微分学的心脏部分。本章详细阐述了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我们强调了中值定理作为架设“局部信息”与“整体变化”之间桥梁的关键作用，并通过几何直观展示了它们在平均变化率和瞬时变化率之间的联系。 第9章：导数的应用——函数的性态分析 本章应用中值定理来分析函数的单调性、极值和凹凸性。详细讨论了利用二阶导数判断拐点和凹凸区间的标准方法。此外，本章还专门辟节讲解了洛必达法则（利用柯西中值定理的推论）在处理不定型极限中的应用。 第10章：泰勒公式与近似 本章将微分学的知识推向高峰。我们推导了拉格朗日余项和佩亚诺余项的泰勒公式，并利用这些公式精确估算了函数值，展示了如何用多项式函数来高精度地逼近复杂函数。这部分内容为工程计算和数值分析打下了坚实的理论基础。 第四部分：不定积分与定积分（第11章至第14章） 第11章：不定积分的概念与基本积分法 本章定义了不定积分（原函数）的概念，强调了不定积分结果带有任意常数 C。重点讲解了变量代换法和分部积分法这两大核心求解技巧，并通过大量的例题展示了技巧的选择策略。 第12章：常见函数的积分技巧 本章深入探讨了有理函数积分（使用通分和部分分式分解）、三角有理式积分以及简单的无理式积分（如三角代换法）。目标是使读者掌握针对不同类型被积函数的系统化处理流程。 第13章：定积分的定义与性质 本章严格引入了定积分的概念，基于黎曼和的极限定义，强调了定积分是对函数在区间上“累积效果”的精确度量。讨论了定积分的线性性、区间可加性以及不等式性质。 第14章：微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式 这是连接微分与积分的里程碑。本章详细阐述了微积分基本定理（第一、第二），并利用牛顿-莱布尼茨公式展示了定积分的计算方法。我们深入剖析了公式背后的意义，即求累积量，通过求原函数的变化量即可实现。 第五部分：定积分的应用（第15章至第17章） 第15章：定积分的几何应用 本章专注于定积分在几何问题中的应用，包括计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）、曲线的弧长等。每一种应用都配有清晰的微元法思想导引。 第16章：定积分的物理应用 本章将数学工具应用于物理世界。涵盖了变力做功、液体重心、压力和质心等经典物理模型的建立与求解。 第17章：反常积分（广义积分） 本章将定积分的概念推广到积分区间为无穷大或被积函数存在无穷间断点的情况，即反常积分。我们严格讨论了反常积分的收敛性判别准则（类比级数判别法）。 第六部分：多元函数微积分初步（第18章至第20章） 第18章：空间直角坐标系与向量基础 为进入多元函数做准备，本章简要回顾了三维空间直角坐标系、空间向量的线性运算、点积与叉积，为后续的偏导数和方向导数打下坐标基础。 第19章：多元函数的极限与连续性 本章将单变量函数的极限和连续性概念推广到 $mathbb{R}^n$ 空间。特别强调了在 $mathbb{R}^n$ 中路径依赖性对极限判断的影响，引入了极坐标（或球坐标）变换在求解多元函数极限中的应用。 第20章：偏导数与全微分 本章定义了偏导数，并讨论了它们在确定函数变化方向上的局限性。随后，引入了全微分的概念，并在此基础上阐述了多元函数链式法则和隐函数（及反函数）存在定理的初步介绍。 三、 教材特色与学习支持 1. 严谨性与启发性的平衡： 每个定义、定理的证明都力求严密，但同时辅以大量直观的注释和图示，帮助读者跨越形式化的障碍。 2. 丰富的例题与变式： 全书包含超过 400 个精选的例题，这些例题不仅是概念的直接应用，更包含了技巧的引导和思维方式的示范。 3. “难点剖析”栏目： 在关键概念（如完备性、中值定理的本质、多重极限）之后，设置了“难点剖析”小节，专门讨论常见误区和深层理解。 4. 习题设计： 每章末尾的习题分为基础巩固（检验理解）、综合应用（联系实际）、理论探究（启发思考）三个层次，满足不同层次读者的需求。 《数学分析导论》不仅是一本计算工具书，更是一本引导读者进入数学科学严谨思维殿堂的向导。掌握本书内容，将为后续的微分方程、复变函数、实变函数乃至更深层次的科学研究奠定不可动摇的数学基石。

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